GABARITO: ALTERNATIVA B

Vamos primeiramente fazer o desenho do que o enunciado nos fornece logo na primeira análise:

O desenho foi feito sabendo que 𝑍𝑀 e 𝑌𝑁são as medianas descritas no enunciado. Suas medidas foram marcadas no desenho. Veja também as marcações com os ângulos 𝜃 e 𝛼, que foram feitas devido aos triângulos 𝑋𝑀𝑍 e 𝑍𝑀𝑌serem isósceles. Portanto, a soma dos ângulos internos em 𝑋𝑌𝑍 nos dá:

2𝜃 + 2𝛼 = 180° ⇒ 𝜃 + 𝛼 = 90°

Portanto, o ângulo em 𝑍 é reto, o que implica que o triângulo 𝑋𝑌𝑍 é retângulo. Assim, aplicando o teorema de Pitágoras em 𝑋𝑌𝑍:

𝑋𝑌² = 𝑋𝑍² + 𝑌𝑍² ⇒ 16² = 𝑦² + (2𝑥)² = 4𝑥² + 𝑦² ⇒ 4𝑥² + 𝑦² = 256 (∗)

Agora, como o ângulo em 𝑍 é reto, o triângulo 𝑁𝑍𝑌 também é retângulo. Daí:

𝑁𝑌² = 𝑁𝑍² + 𝑍𝑌² ⇒ 12² = 𝑥² + 𝑦² ⇒ 𝑥² + 𝑦² = 144 (∗∗)

Portanto, fazendo (∗) − (∗∗):

3𝑥² = 256 − 144 = 112 ⇒ 𝑥² = 112/3 ⇒

Substituindo em (∗∗):

112/3 + 𝑦² = 144 ⇒ 𝑦² = 320/3 ⇒

Portanto, o 𝑛 desejado é 𝑛 = 3 ⇒ 𝑛² = 9