GABARITO: ALTERNATIVA C

Vamos primeiramente identificar a região 𝐸:

Essa região acima se refere a todos os pontos do ℝ² que estão abaixo da (ou inclusos na) reta 𝑦 + 𝑥 − 3 = 0.

𝑦 + 𝑥 ≥ 1 ⇒ 𝑦 + 𝑥 − 1 ≥ 0

A região acima caracteriza todos os pontos do plano cartesiano que estão acima (ou inclusos) da reta 𝑦 + 𝑥 − 1 = 0.

𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑦 ≥ 0

A região acima nada mais é do que os pontos do primeiro quadrante. Portanto, a interseção dessas regiões no plano cartesiano, teremos a seguinte região 𝐸:

Vamos rotacionar de 270° a região acima e queremos o volume do sólido gerado. Observe, porém, que se girarmos 360° em torno do eixo 𝑥 estaremos formando um cone de altura 3 e raio da base 3 (geratriz na 𝑁𝑄 na figura) vazado na base por outro cone de altura 1 e raio da base 1 (geratriz OP na figura). Assim, como 270° representa 3/4 de 360°, multiplicaremos o volume achado para 360° por 3/4, e obteríamos o resultado desejado:

Portanto: