GABARITO:

a) Vamos desenhar um quadrilátero qualquer ABCD:

Traçamos as diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD. Note que MQ é base média do triângulo ABD, logo, MQ//BD e MQ = BD/2. Analogamente, para o triângulo BCD, temos NP//BD e NP = BD/2. Portanto, NP = MQ e NP//MQ.

Para a diagonal AC, temos do triângulo ABC que MN é sua base média, logo, MN//AC e MN = AC/2. Analogamente, para o triângulo ADC, temos PQ//AC e PQ = AC/2. Portanto, MN//PQ e MN = PQ.

Assim, o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo.

b) Vamos dividir o problema em cada caso:

Caso 1) MNPQ é retângulo:

Como MNPQ é um retângulo e seus lados são paralelos às diagonais do quadrilátero ABCD, temos que a condição para isso é ABCD possuir diagonais ortogonais entre si.

Caso 2) MNPQ é losango:

Vimos no item a que MQ = NP = BD/2 e MN = PQ = AC/2. Sabemos que o losango deve possuir todos os lados equiláteros, logo:

MQ = NP = MN = PQ ⇒ BD/2 = AC/2 ⇒ BD = AC

Portanto, uma condição é as diagonais do quadrilátero ABCD devem possuir a mesma medida.

Caso 3) MNPQ é quadrado:

Para MNPQ ser um quadrado, ele deve satisfazer as condições de um losango e de um retângulo. Logo, ABCD deve possuir diagonais congruentes e ortogonais.