GABARITO: ALTERNATIVA C

Note que o polinômio dado possui zero como uma de suas raízes, pois:

𝑝(0) = 0⁵ + 𝑎₃0³ + 𝑎₂0² + 𝑎₁0 = 0

Seja 𝑟 a “raiz central”, ou seja, tal que:

(𝑟 − 1, 𝑟 − 1/2, 𝑟, 𝑟 + 1/2, 𝑟 + 1)

Sejam as soluções de 𝑝(𝑥) = 0. Das relações de Girard, podemos escrever que:

𝑟 − 1 + 𝑟 − 1/2 + 𝑟 + 𝑟 + 1/2 + 𝑟 + 1 = − 𝑎₄/𝑎₅ = − 0/1 = 0

5𝑟 = 0 ⇒ 𝑟 = 0

Logo, as raízes de 𝑝(𝑥) são:

(−1, − 1/2, 0, 1/2, 1 )

Ainda das relações de Girard, podemos escrever:

𝑎₃/𝑎₅ = 𝑎₃

= (−1) ∙ (− 1/2) + (−1) ∙ 0 + (−1) ∙ 1/2 + (−1) ∙ 1 + (− 1/2) ∙ 0 + (− 1/2) ∙ (1/2) + (− 1/2) ∙ 1 + 0 ∙ 1/2 + 0 ∙ 1 + 1/2 ∙ 1

Ou seja:

𝑎₃ = − 5/4

Além disso:

𝑝(−1) = −1 + 5/4 + 𝑎₂ − 𝑎₁ = 0 ⇒ 𝑎₂ − 𝑎₁ = − 1/4

𝑝(1) = 1 − 5/4 + 𝑎₂ + 𝑎₁ = 0 ⇒ 𝑎₂ + 𝑎₁ = 1/4

Resolvendo o sistema acima, temos:

𝑎₂ = 0 𝑒 𝑎₁ = 1/4