GABARITO:

Essa questão é um pouco mais elaborada e exige um diagrama inicial bem feito, observe:

Vamos dividir a solução em três partes:

Encontrar 𝑠𝑒𝑛(𝜃);

Encontrar 𝑃𝑅;

Encontrar 𝑟.

Para calcular 𝑠𝑒𝑛(𝜃), observe, do diagrama acima, que:

𝛼 + 𝜃 = 45° ⇒ 𝜃 = 45° − 𝛼

Assim, temos que 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛(45° − 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(45°) cos(𝛼) − cos (45°)𝑠𝑒𝑛(𝛼). Portanto:

𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 1/√2 (cos(𝛼) − 𝑠𝑒𝑛(𝛼))

Note que 𝑡𝑔𝛼 é o coeficiente angular da reta que passa por 𝑃𝑄. Assim, temos que:

Usando o triângulo abaixo, podemos observar que 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 2/√29 e cos(𝛼) = 5/√29. Dessa forma, temos que:

Para encontrar 𝑅 e posteriormente 𝑃𝑅, é conveniente encontrar a equação da reta 𝑃𝑄. Isso é bem simples, pois temos seu coeficiente angular e temos um ponto dela (tome P, por exemplo). Da geometria analítica, sabemos que:

Fazendo 𝑦 = 𝑥 na reta 𝑃𝑄 podemos encontrar as coordenadas de 𝑅:

2𝑥 − 5𝑥 + 40 = 0 ⇒ 𝑥 = 40/3 = 𝑦

∴ 𝑅 = (40/3, 40/3)

Assim,

Para encontrar 𝑟, observe na figura que: