GABARITO: ALTERNATIVA A

O conceito de simetria de dois pontos em relação à uma reta 𝑟 implica que a reta 𝑡 que une esses pontos 𝐴 e 𝐵 seja perpendicular à 𝑟, e que se cruzem no ponto médio de 𝑡. A reta que passa por 𝐴 e 𝐵 satisfaz:

Essa reta 𝑡 ⊥ 𝑟, e o ponto médio 𝑀 do segmento AB pertence à 𝑟.

Se chamarmos a equação de 𝑟: 𝑦 = ax + 𝑏, como 𝑟 ⊥ 𝑡 então o produto de seus coeficientes angulares é -1:

𝑟 ⊥ 𝑡 ⇒ 𝑎 ⋅ −1 = −1 ⇒ 𝑎 = 1

𝑀 ∈ 𝑟 ⇒ (4, −2) satisfaz a equação de r ⇒ −2 = 4 + 𝑏 ⇒ 𝑏 = −6

Assim, sabemos a equação de 𝑟: 𝑦 = 𝑥 − 6. Queremos saber quanto mede a corda que 𝑟 determina em 𝜆. Para isso basta acharmos os pontos de intersecção de 𝜆 e 𝑟, isto é, os pontos que satisfazem:

Substituindo a segunda equação na primeira:

𝑦² + (𝑦 − 2)² = 8 ⇒ 2𝑦² − 4𝑦 + 4 = 8 ⇒ 𝑦² − 2𝑦 + 2 = 4 ⇒ (𝑦 − 1)² = 3

⇒ 𝑦 − 1 = ±√3

Assim, os pontos possíveis são:

𝑦1 = 1 + √3 ⇒ 𝑥1 = 𝑦1 + 6 = 7 + √3

𝑦2 = 1 − √3 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑦2 + 6 = 7 − √3

Assim, 𝐴 = (7 + √3, 1 + √3) 𝑒𝑒 𝐵 = (7 − √3 ,1 − √3)

Portanto, a corda desejada é:

Assim, 𝑛𝑛 = 2√6 ≈ 4,9. Portanto, a corda está entre 4 e 5.

Gabarito “a”