GABARITO: ALTERNATIVA A

Há duas formas de resolvermos esse exercício. Façamos das duas formas. A primeira é passarmos z para a forma trigonométrica e utilizarmos a primeira Lei de De Moivre. Como acabamos de vê- la, comecemos fazendo por ela. Vejamos:

O módulo desse complexo é:

. O argumento desse complexo é

. Logo, na forma trigonométrica, esse complexo se torna:

𝑧 = 2√2 ⋅ (𝑐𝑜𝑠 45° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 45°)

Daí, pela primeira lei de De Moivre

= 2√2 ⋅ (𝑐𝑜𝑠 45° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 45°)

𝑧¹⁰⁰ = (2√2)¹⁰⁰ ⋅ (𝑐𝑜𝑠 4500° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 4500°)

Para calcularmos seno e cosseno de ângulos maiores que 360°, basta dividimo-los por 360° e considerarmos apenas o resto:

Daí então:

𝑧¹⁰⁰ = (2√2)¹⁰⁰ ⋅ (𝑐𝑜𝑠 4500° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 4500°)

= (2√2)¹⁰⁰ ⋅ (𝑐𝑜𝑠 180° + 𝑖 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 180°)

= (2√2)¹⁰⁰ ⋅ (−1 + 𝑖 ⋅ 0)

= (2√2)¹⁰⁰ ⋅ (−1)

Não precisamos nem continuar a conta, porque a parte imaginária i sumiu, o que faz desse número um número real. O −1 que multiplica a expressão faz desse número um número real negativo, que caracteriza o dito na alternativa A. Um outro modo de fazermos esse exercício é utilizarmos o seguinte truque algébrico (que só funciona para potências pares de 1 i + ):

𝑧 = 2 + 2𝑖

𝑧 = 2(1 + 𝑖)

𝑧¹⁰⁰ = [2(1 + 𝑖)]¹⁰⁰

= 2¹⁰⁰ ⋅ (1 + 𝑖)¹⁰⁰

= 2¹⁰⁰ ⋅ (1 + 𝑖)2⋅⁵⁰

= 2¹⁰⁰ ⋅ [(1 + 𝑖)2]⁵⁰

= 2¹⁰⁰ ⋅ (1 + 2𝑖 + 𝑖2)⁵⁰

= 2¹⁰⁰ ⋅ (1 + 2𝑖 − 1)⁵⁰

= 2¹⁰⁰ ⋅ (2𝑖)⁵⁰

= 2¹⁰⁰ ⋅ 2⁵⁰ ⋅ 𝑖⁵⁰

Veja que:

Logo:

𝑧¹⁰⁰ = 2100 ⋅ 2⁵⁰ ⋅ 𝑖²

= 2¹⁰⁰ ⋅ 2⁵⁰ ⋅ (−1)

Trata-se de um número real negativo, como encontrado antes.

Gabarito: A