GABARITO: ALTERNATIVA A

Vamos resolver esse problema usando geometria analítica (equação de retas). A origem do nosso sistema de coordenadas é A(0,0). Os eixos x e y são, respectivamente, as retas suporte de AB e AD. Estamos interessados em analisar 3 retas inclinadas: as retas suporte de AE, AC e DF. Como as retas de AE e AC passam pela origem, elas podem ser calculadas olhando apenas o coeficiente angular:

reta AE: y = m₁ ⋅ x

reta AC: y = m₂ ⋅ x

Onde m₁ e m₂ são as tangentes do ângulo de inclinação dessas retas com relação ao eixo x. Assim:

Agora, calculando a reta DF: y = ax +b, sabemos que ela passa pelos pontos D(0, l) e pelo centro do quadrado F (l/2, l/2). Portanto:

D ⇒ l = a ⋅ 0 +b ⇒ b = l

F ⇒ l/2 = a ⋅ l/2 +l ⇒ a = −1

⇒ reta DF: y = −x + l

Agora vamos achar as coordenadas dos pontos G e H. H é a interseção da reta DC: y = l e a reta AE:

Portanto,

. Agora, G é a interseção de DF com AE:

Logo,

. Agora, a área de DHG é meio da base vezes a altura:

A área de AGF é [AGF] = [AGB] − [AFB]. Como AFB é a quarta parte do quadrado, sua área é l²/4. Portanto, vamos

calcular [AGB], como meio da base vezes altura:

Assim, a razão pedida é: