GABARITO: ALTERNATIVA C

Antes de escrevermos a função composta, vamos fazer algumas simplificações:

𝑔(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)²

Vamos fatorar 𝑓(𝑥). Note primeiramente que 1 é raiz:

𝑓(1) = 1 + 2 − 2 − 1 = 0

Vamos usar Briot-Ruffini para fatorar 𝑓(𝑥):

Ou seja:

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥³ + 3𝑥² + 3𝑥 + 1)

Observe que o segundo fator de 𝑓(𝑥) é uma expressão conhecida, se trata do cubo de (𝑥 + 1):

(𝑥 + 1)³ = 𝑥³ + 3𝑥² + 3𝑥 + 1

Assim:

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)³

Agora vamos escrever 𝑓(𝑔(𝑥)):

𝑓(𝑔(𝑥)) = [(𝑥 − 1)² − 1][(𝑥 − 1)² + 1]³

Queremos os valores de 𝑥 para 𝑓(𝑔(𝑥)) = 0, ou seja:

[(𝑥 − 1)² − 1][(𝑥 − 1)² + 1]³ = 0 ⇒ (𝑥 − 1)² − 1 = 0 𝑜𝑢 [(𝑥 − 1)² + 1]³ = 0

Do que segue que:

(𝑥 − 1)² − 1 = 0 ⇒ 𝑥 − 1 = ±1 ⇒ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = 0

E ainda:

(𝑥 − 1)² + 1 = 0 ⇒ 𝑥 − 1 = ±𝑖 ⇒ 𝑥 = 1 ± 𝑖

Perceba que o fator (𝑥 − 1)² + 1 se repete três vezes no polinômio 𝑓(𝑔(𝑥)), ou seja, suas raízes têm multiplicidade 3 no polinômio composto.