GABARITO: ALTERNATIVA B

Se (𝑎, 𝑏) é ponto de interseção de 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 2𝑥 + 2 = −(𝑥 − 1)² + 3 , e de sua inversa 𝑓⁻¹(𝑥), então esse ponto satisfaz a ambas equações 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑓⁻¹(𝑥). Portanto:

Assim, esse sistema nos diz que, para 𝑥 = 𝑎, 𝑓(𝑎) = 𝑏. Mas como 𝑓⁻¹ é a inversa de 𝑓, se analisarmos a segunda equação:

𝑏 = 𝑓⁻¹(𝑎)

Se aplicarmos a função em ambos os lados, considerando que 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓):

𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑓⁻¹(𝑎)) ⇒ 𝑓(𝑏) = 𝑎

Portanto:

Subtraindo ambas equações:

𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 1)² − (𝑏 − 1)² ⇒ 𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 2)

⇒ (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 2) − (𝑎 − 𝑏) = 0 ⇒ (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 3) = 0

Veja que, se 𝑎 + 𝑏 = 3, o resultado acima dá 0. Mas não há alternativa. Assim, se 𝑎 = 𝑏:

Portanto, como 𝑎 = 𝑏 = −1 não está no domínio de 𝑓, então apenas podemos escolher 𝑎 = 𝑏 = 2. Assim:

𝑎 + 𝑏 = 2 + 2 = 4