GABARITO: ALTERNATIVA B

Primeiramente, estabeleçamos as condições de existência da função f(x). Os denominadores não podem ser nulos, portanto:

sen⁡x≠0⇒x≠kπ

Sintetizando isso em uma expressão, temos:

Vamos manipular a expressão da função dada, considerando qualquer x que satisfaça a condição de existência acima:

Mas no numerador temos justamente a expressão de cos⁡ (3x-x), e no denominador temos sen⁡2x/2. Assim:

Portanto, a função é periódica. Também, a função f possui como imagem o conjunto dos reais, pois a imagem da função cotangente são os reais. Logo, a função é sobrejetora. Veja que o domínio de f é

Ademais, como o período da função cotangente é π, sabemos que o período de cotg 2x será π/2. Portanto, a única alternativa verdadeira é a letra b.

Veja que a função cotg 2x quando x→0 tende ao infinito, pois o denominador sen⁡2x tende a 0 e o numerador tende a 1. Já quando x→π/2, o numerador tende a -1 e o denominador tende a sen⁡π=0. Assim, a função tende a -1/0 que é -∞. Assim, realmente vemos que a função é decrescente nesse intervalo.

Gabarito: B