GABARITO: ALTERNATIVA A

Retirando-se 𝑝 do conjunto 𝐴, teremos 𝑛𝑛 − 1 elementos e a média aritmética torna-se:

Como queremos o valor do número |𝑝 − 𝑛|, vamos isolar esse número na equação acima:

+ 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 − 1 + (𝑛 − 𝑝) = 16,4(𝑛 − 1)

⇒ |𝑝 − 𝑛| = |(1 + 2 + ⋯ + 𝑛 − 1) − 16,4(𝑛 − 1)|

Vamos escrever 16,4 na forma de fração.

Note que a soma 1 + 2 + ⋯ + 𝑛𝑛 − 1 é uma progressão aritmética de razão 1 cujo primeiro termo é 1, a soma dessa PA é dada por:

Substituindo os valores encontrados na equação, obtemos:

Como o conjunto 𝐴 possui apenas números inteiros, temos que 𝑝 − 𝑛 também deve ser inteiro. Logo, observando-se a expressão à direita, vemos que 𝑛𝑛 deve ser múltiplo de 10, assim, temos:

𝑛 − 1 = 10k

Testando as possibilidades:

I) 𝑛 − 1 = 10 ⇒ 𝑛 = 11

II) 𝑛 − 1 = 20 ⇒ 𝑛 = 21

III) 𝑛 − 1 = 30 ⇒ 𝑛 = 31

Analisando as alternativas, encontramos o gabarito na letra “a”.

Gabarito: “a”.