GABARITO: ALTERNATIVA B

I) Analisemos as matrizes 𝐿 ∈ 𝑀(3, 1). Como 𝑛 = 3 e 𝑘 = 1, temos uma matriz de ordem 3𝑥3 e um único elemento igual a 1. Temos, por exemplo:

Note que nesse caso, se o elemento 1 estiver na diagonal principal, 𝐿² ≠ 0. Portanto, das 9 posições possíveis, podemos escolher apenas 6 (excluindo-se a diagonal principal) para inserir o elemento 1. Assim, temos:

𝑃(𝐿² = 0) = 6/9 = 2/3

II) 𝑅 ∈ 𝑀(4, 2), temos matrizes de ordem 4𝑥4 e 2 elementos 1. Como analisamos no item I, se tivermos um elemento na diagonal principal, a matriz 𝑅² ≠ 0. Então, para o primeiro elemento 1, temos que ele pode escolher 12 das 16 posições possíveis (excluindo-se a diagonal principal), logo, essa probabilidade é

12/16 = 3/4

Para o segundo elemento 1, devemos analisar do seguinte modo. Seja 𝑅 definido por

, assim, temos que os elementos de 𝑅² serão:

Então, para obtermos uma matriz nula desse produto, temos que o segundo 1 não pode ocupar a diagonal principal (4 casos) e também não pode ocupar as posições que fazem com que

, isso ocorre quando a linha do segundo elemento 1 é a coluna do primeiro (3 casos excluindo-se a diagonal principal) e quando a coluna do segundo elemento 1 é a linha do primeiro elemento (2 casos), logo, das 15 posições possíveis para o segundo elemento, temos:

Portanto, a probabilidade pedida é: