GABARITO: ALTERNATIVA C

Primeiramente, verifiquemos as condições de existência dessa equação com base nos domínios dessas funções:

-1 ≤ 4x³ - x ≤ 1

-1 ≤ 4x² - 1 ≤ 1

No final, ao acharmos as soluções, precisamos conferir se satisfazem as inequações acima. Agora, vamos analisar a equação:

arccos⁡ (4x³-x) + arcsen⁡ (4x²-1) = π/2

⇒arccos⁡ (4x³ - x) =π/2-arcsen⁡ (4x² - 1)

Aplicando cos ⁡( ) em ambos os lados da equação:

4x³ - x =cos⁡(π/2-arcsen⁡(4x² - 1))

Lembrando que cos⁡(π/2 - a)=sen⁡a, para todo a, então:

4x³ - x = sen⁡(arcsen⁡(4x² - 1))

⇒4x³ - x = 4x² -1⇒ 4x³ - 4x² - x + 1 = 0

Assim, veja que, por inspeção, x=1 é raiz da equação acima. Logo:

4x² (x-1) - (x-1) = 0 ⇒ (x - 1)(4x² - 1) = 0

As demais raízes da equação são:

4x² - 1 = 0 ⇒ x² = 1/4 ⇒ x = ±1/2

Agora, vejamos se esses x encontrados satisfazem as condições de existência. Para x=1/2:

4(1/2)³ - 1/2=0 e 4(1/2)² -1=0, portanto, satisfaz as condições. O mesmo ocorre para x=-1/2. Já para x=1, temos 4⋅1³ - 1 = 3 e 4⋅1² - 1 = 3, que não satisfaz as condições de existência. Portanto, a solução é apenas S={-1/2,1/2}={cos⁡ 2π/3, sen⁡ π/6}.

Gabarito: c