GABARITO: ALTERNATIVA D

Seja esta PG de três termos igual a (𝑎, 𝑎𝑞, 𝑎𝑞²), com 𝑎, 𝑞 ≠ 0. A PA é formada por (𝑎, 𝑞, 𝑎𝑞², 𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞²). Olhando para esta 𝑃𝐴, suponha que a razão dela seja 𝑟. Então fazendo a subtração do terceiro elemento e o primeiro da PA:

𝑎𝑞² − 𝑎 = 2𝑟

Por outro lado, subtraindo o 4º termo da PA pelo 3º:

𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞² − 𝑎𝑞² = 𝑟 ⇒ 𝑎 + 𝑎𝑞 = 𝑟

Substituindo esta última na primeira:

𝑎𝑞² − 𝑎 = 2𝑎 + 2𝑎𝑞

Como 𝑎 ≠ 0:

𝑞² − 1 = 2 + 2𝑞 ⇒ 𝑞² − 2𝑞 − 3 = 0 ⇒ Δ = 4 − 4 ⋅ (−3) = 16

Como os termos são todos positivos, 𝑞 > 0 ⇒ 𝑞 = 3. Assim, escrevendo a razão da 𝑃𝐴 como a subtração entre o segundo termo e o primeiro termo, e usando a segunda equação emoldurada:

𝑞 − 𝑎 = 𝑟 = 𝑎 + 𝑎𝑞

⇒ 𝑞 − 𝑎 = 𝑎(1 + 𝑞) ⇒ 3 − 𝑎 = 𝑎 ⋅ 4 ⇒ 3 = 5𝑎 ⇒ 𝑎 =

Portanto, a PG pedida é:

(𝑎, 𝑎𝑞, 𝑎𝑞²) =