a) 𝑅

Os pares ordenados são formados por números naturais. Vamos analisar a propriedade da relação:

𝑥 + 2𝑦 = 12

2𝑦 = 12 − 𝑥

𝑦 = 6 − 𝑥/2

O elemento 𝑦 deve ser natural, então da propriedade acima, 𝑥 deve ser múltiplo de 2 para 𝑦 não ser fracionário. Encontrando os pares ordenados:

𝑥 = 0 → 𝑦 = 6

𝑥 = 2 → 𝑦 = 5

𝑥 = 4 → 𝑦 = 4

𝑥 = 6 → 𝑦 = 3

𝑥 = 8 → 𝑦 = 2

𝑥 = 10 → 𝑦 = 1

𝑥 = 12 → 𝑦 = 0

𝑥 = 14 → 𝑦 = −1 ∉ ℕ

Apenas os pares ordenados naturais devem ser considerados na relação 𝑅. Portanto:

𝑹 = {(𝟎, 𝟔), (𝟐, 𝟓), (𝟒, 𝟒), (𝟔, 𝟑), (𝟖, 𝟐), (𝟏𝟎, 𝟏), (𝟏𝟐, 𝟎)}

b) Domínio, imagem e 𝑅⁻¹

O domínio é dado por todos os primeiros elementos dos pares ordenados de 𝑅:

𝑫🇷 = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐}

A imagem é dada por todos os segundos elementos dos pares ordenados de 𝑅:

𝑰𝒎🇷 = {𝟔, 𝟓, 𝟒, 𝟑, 𝟐, 𝟏, 𝟎}

Para encontrar 𝑅⁻¹, devemos inverter a ordem dos pares ordenados de 𝑅:

𝑹⁻¹ = {(𝟔, 𝟎), (𝟓, 𝟐), (𝟒, 𝟒), (𝟑, 𝟔), (𝟐, 𝟖), (𝟏, 𝟏𝟎), (𝟎, 𝟏𝟐)}

c) 𝑅𝑜𝑅

Pelo diagrama de flechas:

De acordo com o diagrama:

12 → 0 → 6 ⇒ (12, 6) ∈ 𝑅𝑜𝑅

8 → 2 → 5 ⇒ (8, 5) ∈ 𝑅𝑜𝑅

4 → 4 → 4 ⇒ (4, 4) ∈ 𝑅𝑜𝑅

0 → 6 → 3 ⇒ (0, 3) ∈ 𝑅𝑜𝑅

𝑹𝒐𝑹 = {(𝟏𝟐, 𝟔), (𝟖, 𝟓), (𝟒, 𝟒), (𝟎, 𝟑)}

d) 𝑅⁻¹𝑜𝑅

Sabendo que:

𝑅 = {(0,6), (2,5), (4,4), (6,3), (8,2), (10,1), (12,0)}

𝑅⁻¹ = {(6,0), (5,2), (4,4), (3,6), (2,8), (1,10), (0,12)}

O diagrama de flechas de 𝑅⁻¹𝑜𝑅 é dado por:

Analisando o diagrama, temos:

𝑹⁻¹𝒐𝑹 = {(𝟏𝟐, 𝟏𝟐), (𝟏𝟎, 𝟏𝟎), (𝟖, 𝟖), (𝟔, 𝟔), (𝟒, 𝟒), (𝟐, 𝟐), (𝟎, 𝟎)}

Perceba que essa relação composta é a relação identidade.

Podemos encontrar a relação composta sem o uso do diagrama da seguinte forma:

Para 𝑅⁻¹𝑜𝑅, devemos analisar os elementos de 𝑅 e 𝑅⁻¹. Associamos a imagem de 𝑅 com o domínio de 𝑅⁻¹:

𝑅 = {(0,6), (2,5), (4,4), (6,3), (8,2), (10,1), (12,0)}

𝑅⁻¹ = {(6,0), (5,2), (4,4), (3,6), (2,8), (1,10), (0,12)}

Assim, o domínio de 𝑅⁻¹𝑜𝑅 será o domínio de 𝑅 com a imagem de 𝑅⁻¹ dos elementos associados:

(0,6) → (6,0) ⇒ (0, 0)

(2,5) → (5,2) ⇒ (2, 2)

⋮

(12, 0) → (0, 12) ⇒ (12, 12)

∴ 𝑅⁻¹𝑜𝑅 = {(0, 0), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (8, 8), (10, 10), (12, 12)}