GABARITO: ALTERNATIVA A

Veja, na palavra OFICIALATO, temos F, C, L e T como consoantes. A fim de que apareçam todas separadas, é preciso ter anagramas da seguinte maneira:

__X__X__X__X__

Veja que o número de maneiras que podemos permutar as 4 consoantes nas posições acima é igual a 4!=24 maneiras. Escolhida essas posições, podemos escolher x₁, x₂, x₃, x₄ e x₅ o número de letras que estarão em cada espaço acima. Veja que x₁+x₂+x₃+x₄ +x₅=6, pois é o número de vogais restantes. Mas as restrições são de que x₂≥1, x₃≥1, x₄≥1 (para que as consoantes não estejam unidas) e que x₁≥0 e x₅≥0. Assim:

x₁+(x₂-1)+(x₃-1)+(x₄-1)+x₅=3

Se x₂-1=a, x₃-1=b e x₄-1=c, então temos:

x₁+a+b+c+x₅=3

Com x₁,a, b, c, x₅ soluções inteiras não negativas. O número de soluções não negativas dessa equação nos diz exatamente de quantas maneiras podemos colocar letras nos espaços vazios acima satisfazendo a condição de que as consoantes estejam separadas. Esse número de soluções não negativas é conhecido e igual a:

Assim, para cada configuração das 21 acima, podemos permutar as 6 vogais restantes nas 6 posições disponíveis de

maneiras distintas (dividimos por 2!2!2!=8 porque temos as três vogais se repetindo duas vezes cada e precisamos descontar essas repetições). Assim, o total de anagramas pedido é:

24⋅35⋅90=75600

Gabarito: A