O número de maneiras que podemos distribuir as bolas de forma que nenhuma caixa fique vazia pode ser feito de duas formas:

1) Caixas com 1, 1 e 3 bolas

Como as bolas têm diferentes cores, para a primeira caixa temos 𝐶₅,₃ maneiras de escolher 3 bolas para a primeira caixa e as outras caixas ficarão com uma bola cada. Além disso, devemos considerar que a combinação 1, 1 e 3 pode ser permutada de 3! maneiras. Pelo princípio multiplicativo, temos que o número de maneiras nesse caso é:

𝑁₁ = 𝐶₅,₃ ⋅ 3! = (5 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 6)/2 = 60

2) Caixas com 2, 2 e 1 bola

Nesse caso, temos 𝐶₅,₂ maneiras de escolher 2 bolas para a primeira caixa, 𝐶₃,₂ maneiras de escolher 2 bolas para a segunda caixa e 𝐶₁,₁ maneira de escolher a última bola para a terceira caixa. Também devemos desconsiderar a permutação das caixas com 2 bolas cada, para evitar repetição, então dividimos por 2!. Além disso, devemos considerar que essa distribuição pode ser permutada de 3! maneiras. Pelo princípio multiplicativo:

𝑁₂ = (𝐶₅,₂ ⋅ 𝐶₃,₂ ⋅ 𝐶₁,₁ ⋅ 3!)/2 = (

⋅ 3⋅ 1⋅ 6)/2 = 90.

O total de maneiras é dado por:

𝑁 = 𝑁₁ + 𝑁₂ = 60 + 90 = 150

Gabarito: 150