GABARITO: ALTERNATIVA E.

Reescrevendo a expressão, obtemos:

𝐸 = 1 / (cos 36° cos 72° cos 108° cos 144°) = 1 / ((cos 36° cos(90° − 18°) cos(90° + 18°) cos(180° − 36°))

= 1 / (cos 36° sen 18° (− sen 18°)(− cos 36°)) = 1 / (cos² 36° sen² 18°)

Para encontrar os valores de cos 36° e sen 18°, podemos usar o seguinte artifício:

Vamos usar o seguinte triângulo isósceles de lados 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 1:

Note que

é a bissetriz do triângulo 𝐴𝐵𝐶 no vértice 𝐵.

Δ𝐴𝐵𝐶 e Δ𝐵𝐶𝐷 são isósceles.

Vamos calcular o valor da base. Usando a semelhança de triângulos:

Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐵𝐶𝐷 ⇒ 𝐴𝐵/𝐵𝐶 = 𝐵𝐶/𝐶𝐷

1/𝑎 = 𝑎/(1−𝑎)

1 − 𝑎 = 𝑎²

𝑎² + 𝑎 − 1 = 0

𝑎 = (-1±√5)/2

∴ 𝑎 = (√5 - 1)/2

Agora, podemos calcular o valor do cosseno de 36°. Como Δ𝐴𝐵𝐷 é isósceles com base 𝐴𝐵, temos que 𝐸𝐷 é a sua mediatriz. Assim, temos:

Do triângulo 𝐵𝐸𝐷, podemos escrever:

cos(36°) = (1/2)/𝑎

cos(36°) = 1/2𝑎

cos(36°) = 1/(√5−1)

∴ cos(36°) = (√5 + 1)/4

Para calcular o valor do seno, basta aplicar o teorema de Pitágoras e encontrar o valor do lado 𝐸𝐷.

Podemos calcular o valor do seno de 18° com o mesmo triângulo:

Como Δ𝐴𝐵𝐶 é isósceles com base 𝐵𝐶, temos que 𝐴𝐻 é a mediatriz do triângulo. Assim, 𝐻 é o ponto médio da base 𝐵𝐶. Desse modo:

𝑠𝑒𝑛(18°) = (𝑎/2)/1

∴ 𝑠𝑒𝑛(18°) = (√5 − 1)/4

Portanto, o valor da expressão pedida é: