GABARITO: ALTERNATIVA E

Vamos nomear os quadrados menores da seguinte maneira:

Além disso, a probabilidade 𝑃 de que ao menos dois quadrados que possuem lado comum possuam mesma cor pode ser dada pela fórmula:

O total de casos possíveis pode ser dado por:

4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4⁴ = 256

pois são cada quadrado menor possui 4 opções de escolher a cor para ser pintado.

Vamos analisar os casos não favoráveis:

𝐼) 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 possuem cores distintas

Neste caso, 𝐴 possui 4 opções de escolha de cor, em seguida 𝐵 possui 3, 𝐶 possui 2 e por fim 𝐷 possui 1 opção. Assim, nesse caso, temos 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 possibilidades não favoráveis.

𝐼𝐼) 𝐴 e 𝐷 possuem cores iguais e 𝐵 e 𝐶 possuem cores distintas

Nesse caso, 𝐴 possui 4 opções de escolha de cor, em seguida 𝐵 possui 3, 𝐶 possui 2 e por fim 𝐷 possui 1 opção, que é a mesma que a cor de 𝐴. Assim neste caso temos 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 possibilidades não favoráveis.

𝐼𝐼𝐼) 𝐴 e 𝐷 possuem cores iguais e 𝐵 e 𝐶 possuem cores iguais, mas diferente do par anterior

Nesse caso, 𝐴 possui 4 opções de escolha de cor, em seguida 𝐵 possui 3, 𝐶 possui 1 e por fim 𝐷 possui também 1 opção, pois ambos já possuem suas cores definidas. Assim, temos 4 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 12 possibilidades não favoráveis.

𝐼𝑉) 𝐵 e 𝐶 possuem cores iguais e 𝐴 e 𝐷 possuem cores distintas

Nesse caso, 𝐴 possui 4 opções de escolha de cor, em seguida 𝐵 possui 3, 𝐶 possui 1 (mesma cor que 𝐵) e por fim 𝐷 possui 2 opções, pois ambos já possuem suas cores definidas. Assim, nesse caso, temos 4 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 2 = 24 possibilidades não favoráveis.

Dessa maneira, o total de casos não favoráveis é igual a:

24 + 24 + 12 + 24 = 84

Portanto, a probabilidade 𝑃 de que ao menos dois quadrados que possuem lado comum possuam mesma cor é: