GABARITO: ALTERNATIVA E

Primeira hipótese:

𝑥 < 0 ⇒ 1/4 . (−𝑥). (−𝑥 + 2) = 2 . (−𝑥 + 1/2) ⇒ 𝑥² − 2𝑥 = −8𝑥 + 4 ⇒ 𝑥² + 6𝑥 − 4 = 0

Analisando o discriminante:

∆= 36 − 4 . 1 . (−4) = 36 + 16 = 52

Sendo assim:

𝑥 = (−6 ± √52)/2

Da restrição, temos uma única raíz 𝑥 = (−6 ± √52)/2

Analisando a segunda hipótese:

0 ≤ 𝑥 < 1/2 ⇒ 1/4 . 𝑥 . (2 − 𝑥) = 2 . (−𝑥 + 1/2) ⇒ 2𝑥 − 𝑥² = −8𝑥 + 4 ⇒ 𝑥² − 10𝑥 + 4 = 0

Analisando o discriminante:

∆= 100 − 4 . 1 . (4) = 100 − 16 = 84

Sendo assim:

𝑥 = (10 ± √84)/2

Da restrição, temos uma única raíz 𝑥 = (10 ± √84)/2

Analisando a terceira hipótese:

1/2 ≤ 𝑥 < 2 ⇒ 1/4 . 𝑥 . (2 − 𝑥) = 2𝑥 − 1 ⇒ 2𝑥 − 𝑥² = 8𝑥 − 4 ⇒ 𝑥² + 6𝑥 − 4 = 0

Analisando o discriminante:

∆= 36 − 4 . 1 . (−1) = 36 + 16 = 52

Sendo assim:

𝑥 = (−6 ± √52)/2

Da restrição, temos uma única raíz 𝑥 = (−6 ± √52)/2 2

Por fim, devemos analisar a última hipótese:

𝑥 ≥ 2 ⇒ 1/4 . 𝑥 . (𝑥 − 2) = 2𝑥 − 1 ⇒ 𝑥² − 2𝑥 = 8𝑥 − 4 ⇒ 𝑥² − 10𝑥 + 4 = 0

Analisando o discriminante:

∆= 100 − 4 . 1 . 4 = 100 − 16 = 84

Sendo assim:

𝑥 = (10 ± √84)/2

Da restrição, temos uma única raíz 𝑥 = (10 ± √84)/2

Da restrição, unindo todas as hipóteses, o conjunto solução fica: