GABARITO: ALTERNATIVA D

No R3, podemos definir os pontos A, B e C do triângulo no espaço (dado que 𝛥ABC é equilátero), como:

𝐴 = (0, 0, 0)

𝐵 = (2𝑎, 0, 0)

𝐶 = (𝑎, 𝑎√3, 0)

Note que, estamos buscando a reta bissetriz interna do ângulo 𝐵Â𝐶, mas o triângulo é equilátero, então a bissetriz coincide com a mediana do ponto A ao ponto médio (M) do segmento BC:

Encontrando o ponto 𝑃 cujas coordenadas são (𝑥, 𝑦, 𝑧):

(i) 𝐴𝑃 = 𝑎:

(ii) 𝐵𝑃 = 2𝑎:

(iii) 𝐶𝑃 = 2𝑎:

Das equações (i) e (ii):

{𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 𝑎²(𝑥 − 2𝑎)² + 𝑦² + 𝑧² = 4𝑎²

(𝑥 − 2𝑎)² − 𝑥² = 4𝑎² − 𝑎²

𝑥² − 4𝑎𝑥 + 4𝑎² − 𝑥² = 3𝑎²

4𝑎𝑥 = 𝑎²

𝑥 = 𝑎/4

Das equações (ii) e (iii), e 𝑥 = 𝑎/4:

Aplicando à equação (i):

Note que, esses pontos são simétricos em relação ao plano xy, de modo que podemos adotar apenas um deles como forma de calcular a distância do ponto P à reta suporte de AM.

Encontrando, também, o vetor diretor da reta AM:

Para a distância de ponto à reta no R3:

Com

Assim,

Logo, a alternativa correta é a letra D.