GABARITO: ALTERNATIVA E.

Primeiramente, analisaremos o intervalo 𝑥 ≤ −1. Para esse intervalo a função é dada por:

𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥|

Como 𝑥 < 0 nesse intervalo, então |𝑥| = −𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) = −𝑥² para 𝑥 ≤ −1. Portanto, vemos que nesse intervalo a função é sempre negativa. Isso já elimina as alternativas a) e b)!

Agora vamos observar a função 𝑓(𝑥) para valores de −1 < 𝑥 ≤ 0.

𝑓(𝑥) = [−|𝑥+1||𝑥|]/[𝑥+1] + 𝑥

Para esse intervalo: |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1 e |𝑥| = −𝑥(pois 𝑥 é negativo). Daí a função fica:

𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)(−𝑥)𝑥 + 1 + 𝑥 = 2𝑥

Veja que para valores de 𝑥 tão próximos de -1 quanto queiramos (pela direita, isto é, valores maiores que -1), 𝑓 converge para 2⋅(−1) = −2. Portanto, o gráfico da função deve demonstrar isso. Veja que a alternativa c) não demonstra essa descontinuidade da função 𝑓 e, portanto, é falsa. Resta-nos decidir entre a alternativa d) e e). Para fazer isso, vamos olhar o intervalo que nos falta:

𝑥 > 0

Para 𝑥 > 0, |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1, |𝑥| = 𝑥. Daí, a função fica:

𝑓(𝑥) = −[(𝑥 + 1)𝑥]/[𝑥 + 1] + 𝑥 = −𝑥 + 𝑥 = 0

Portanto, a função é identicamente nula para 𝑥 > 0. A alternativa que está de acordo é a letra e).