{"id":60140,"date":"2022-10-18T11:20:00","date_gmt":"2022-10-18T14:20:00","guid":{"rendered":"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/?p=60140"},"modified":"2022-11-06T10:33:20","modified_gmt":"2022-11-06T13:33:20","slug":"par-ordenado-e-produto-cartesiano","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/matematica\/par-ordenado-e-produto-cartesiano\/","title":{"rendered":"Par ordenado e produto cartesiano: o que s\u00e3o e suas propriedades"},"content":{"rendered":"\n<p>Um dos principais assuntos cobrados nos seletivos das <a href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/mundo-militar\/forcas-armadas\/quais-sao-as-forcas-armadas\/\">For\u00e7as Armadas<\/a> \u00e9 o estudo das fun\u00e7\u00f5es. No entanto, \u00e9 necess\u00e1rio conhecer e compreender<strong> os conceitos de par ordenado e produto cartesiano <\/strong>antes de entrar no tema. Portanto, confira a defini\u00e7\u00e3o e as propriedades deles neste artigo do Estrat\u00e9gia Militares!<\/p>\n\n\n\n<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_79_2 counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-transparent ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\"><p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Navegue pelo conte\u00fado\t<\/p>\n<\/div><nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/matematica\/par-ordenado-e-produto-cartesiano\/#O-que-e-par-ordenado\" >O que \u00e9 par ordenado?<\/a><ul class='ez-toc-list-level-3' ><li class='ez-toc-heading-level-3'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/matematica\/par-ordenado-e-produto-cartesiano\/#Teorema\" >Teorema<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-3'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/matematica\/par-ordenado-e-produto-cartesiano\/#Inscreva-se-em-nossa-newsletter\" >Inscreva-se em nossa newsletter!<\/a><\/li><\/ul><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/matematica\/par-ordenado-e-produto-cartesiano\/#O-que-e-produto-cartesiano\" >O que \u00e9 produto cartesiano?<\/a><ul class='ez-toc-list-level-3' ><li class='ez-toc-heading-level-3'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/matematica\/par-ordenado-e-produto-cartesiano\/#Propriedades\" >Propriedades<\/a><\/li><\/ul><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/matematica\/par-ordenado-e-produto-cartesiano\/#Veja-tambem\" >Veja tamb\u00e9m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-o-que-e-par-ordenado\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"O-que-e-par-ordenado\"><\/span>O que \u00e9 par ordenado?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Na Matem\u00e1tica, temos situa\u00e7\u00f5es em que<strong> a ordem dos elementos \u00e9 importante para definir a solu\u00e7\u00e3o de um problema<\/strong>. Considere o problema abaixo:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Encontrar \ud835\udc65, \ud835\udc66 \u2208 \u211d que satisfa\u00e7a as equa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/rrYWXJA5NWYLISVo4IEL5KJv-__bgkuwpUqHnxmPfDYnx1WEbAilgjy-K3Djtlr5GFYUF1gTPJpWXy1lG0t35QVQ9bNADHisf2I24eiGIgL1fmAflu8WrgmKl7uxxlG8jl4U9SA7oD1_oQGWPdPHTLxinfDdFeOH-FSuVuCqemCGb2x44lgiOokGlg\" alt=\"\" width=\"93\" height=\"48\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Quando resolvemos a equa\u00e7\u00e3o acima, encontramos<strong> <\/strong><strong><em>x = 1<\/em><\/strong><strong> e <\/strong><strong><em>y = 0<\/em><\/strong><strong>.<\/strong> Se escolh\u00eassemos representar a solu\u00e7\u00e3o usando conjuntos, o resultado seria {1,0}. No entanto, <strong>quando o resultado \u00e9 colocado entre chaves \u201c{ }\u201d, a ordem dos elementos n\u00e3o importa<\/strong>, de forma que {1, 0} = {0, 1}.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Isso \u00e9 o mesmo que dizer \ud835\udc65 = 0 e \ud835\udc66 = 1 como solu\u00e7\u00e3o do sistema acima &#8211; o que n\u00e3o \u00e9 verdade. Por isso,<strong> para que a resolu\u00e7\u00e3o desse problema esteja correta, devemos usar o conceito de par ordenado<\/strong>:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">(\ud835\udc65, \ud835\udc66) = (1, 0)<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Para definir um par ordenado, usamos os par\u00eanteses &#8220;( )&#8221;<\/strong> no lugar das chaves &#8220;{ }&#8221;. Como a ordem dos elementos importa, temos:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">(1, 0) \u2260 (0, 1)<\/p>\n\n\n\n<p>Assim, utilizando <strong>a defini\u00e7\u00e3o de par ordenado elaborada pelo matem\u00e1tico Kuratowski<\/strong>, temos que:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/pne8xKO8Oq5r1uy_PwoiIoJCSl1Wm2_Q4R8EF4bEdC8n6Z0ygf-CcV2N7-4liyhWcCYLTZvwPXd8OT_LAzIBbeYf1HGYA3f_rs6nLQGeh2ZwjzvqFslFGCkIxew3YG2D5uJNqaV8y0GdXbx6Ey7DohgPrT4nsgj9CONxCjWDf0cUZuWnOzhS3_zyKQ\" alt=\"\" width=\"159\" height=\"31\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Podemos usar essa defini\u00e7\u00e3o para representar mais vari\u00e1veis:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">(\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67) = {{\ud835\udc65}, {\ud835\udc65, \ud835\udc66}, {\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67}}<\/p>\n\n\n\n<p>Nesse caso, chamamos (\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67) de tripla ordenada. Agora, para fazer o que chamamos de n-upla ordenada (\ud835\udc65<sub>1<\/sub>, \ud835\udc65<sub>2<\/sub>, \u2026 , \ud835\udc65<sub>\ud835\udc5b<\/sub>) temos:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">(\ud835\udc65<sub>1<\/sub>, \ud835\udc65<sub>2<\/sub>, \u2026 , \ud835\udc65<sub>\ud835\udc5b<\/sub>) = {{\ud835\udc65<sub>1<\/sub>}, {\ud835\udc65<sub>1<\/sub>, \ud835\udc65<sub>2<\/sub>}, \u2026 , {\ud835\udc65<sub>1<\/sub>, \ud835\udc65<sub>2<\/sub>, \u2026 , \ud835\udc65<sub>\ud835\udc5b<\/sub>}}<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-teorema\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Teorema\"><\/span>Teorema<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n\n\n\n<p>O par ordenado tamb\u00e9m conta com algumas propriedades. Observe abaixo o teorema:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh4.googleusercontent.com\/etdtbHDZarW7wRrzTDRleO5zqTwG4gcvpKXoXD3d0kXntY60xhqrV77eNf3xh-9RuSmwjk-nfdaTHSBaT8ks9Dr4E_yl3LbK7WyDxgmNG802owCTqMZFOucj1y4pawHXsUZOQOjl3MR6BFKKZdnPCaRB5FO-yvIyPv0CvSvVkopZKRZvTSLo0oAYMQ\" alt=\"\" width=\"-71\" height=\"-8\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Usando a defini\u00e7\u00e3o de Kuratowski, temos:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">(\ud835\udc4e, \ud835\udc4f) = (\ud835\udc50, \ud835\udc51)<br>{{\ud835\udc4e}, {\ud835\udc4e, \ud835\udc4f}} = {{\ud835\udc50}, {\ud835\udc50, \ud835\udc51}}<\/p>\n\n\n\n<p>Pela igualdade, podemos escrever:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/MjRe_IPfI7yC-kdBjjcLfB2mSOifaMfF9VUZCgnBb9RGRYql0LhpGYIc6Zf_KDjX0IUDDYHHJrRUkTGyIwTIDJEImIWpPeHzkdvHkkSxVvwyOQWViFOcl2yVVmD_Q-8TsSNwQUXFIWz80qPDynQeJNa0TBcmIEoSKCqnRY02xaHOUXreUIn1if3FIA\" width=\"109\" height=\"50.38380088132722\"> ou <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh3.googleusercontent.com\/wl_SiwKOVBSdb386L3xI5DtkpKuu0l7Y-1rPoEVC3emAaW72WZspiTUqEgyruIYyKY3AJOo5REwvcEWOPW4yBPD6FilB2MJ5XiyNxGsG9y1kOQiAM0cZXsMGSmHu_fOycDciiSLNPMI3PQrtQwdv6vKbAwbmsGjWnrxhHGvtxCEkcmRFxs1Slg_PKQ\" width=\"95\" height=\"44.644107813893974\"><\/p>\n\n\n\n<p>Resolvendo os sistemas:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/O4oJRozyVHtCDb_2R7E_gy2Y8BVWthfxjp71TYqcS80OVT1wfMWpqRWGAQhFH8iTKrDbxi57NadEx8PohkKfDWnaixmTkHRC0-i4WlfAK3_lqvU4xhI86tgRrWc89OF7Hfb2NAqintNxPVUabhgVJqVSjsH5KLkh-fPH2nfk9Qq6W9SMzn-pdKfXFQ\" alt=\"\" width=\"109\" height=\"39\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">{\ud835\udc4e} = {\ud835\udc50} \u21d2 \ud835\udc4e = \ud835\udc50<br>{\ud835\udc4e, \ud835\udc4f} = {\ud835\udc50, \ud835\udc51} \u21d2 \ud835\udc4f = \ud835\udc51, j\u00e1 que \ud835\udc4e = \ud835\udc50<\/p>\n\n\n\n<p>Nesse caso, \ud835\udc4e = \ud835\udc50 e \ud835\udc4f = \ud835\udc51.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/2Dv75VmRWlqKVxtnHrMudigqV1p_cp6Kg38wzRJQz8iwSTrn97mc3wWuDHIGDYWsDYN_j3FFNIVQv5xDf4YnGyNkp34JRaWN0Ke1FzM5pri2-VvzkmhZzAdc-Dv7ssNU-FXYzgYfGUi4CYbXKcWKUmjOLW6IP3VZ41HNXe3LuaqOSc-X7d7yULdFew\" alt=\"\" width=\"104\" height=\"42\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">{\ud835\udc4e} = {\ud835\udc50, \ud835\udc51} \u21d2 \ud835\udc4e = \ud835\udc50 = \ud835\udc51<br>{\ud835\udc4e, \ud835\udc4f} = {\ud835\udc50} \u21d2 \ud835\udc4e = \ud835\udc4f = \ud835\udc50<br>\u21d2 \ud835\udc4e = \ud835\udc4f = \ud835\udc50 = \ud835\udc51<\/p>\n\n\n\n<p>Nesse caso,<strong> todos os elementos s\u00e3o iguais<\/strong> e \ud835\udc4e = \ud835\udc50 e \ud835\udc4f = \ud835\udc51 tamb\u00e9m \u00e9 v\u00e1lido.<\/p>\n\n\n\n<p>Com isso, conclu\u00edmos:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">(\ud835\udc4e, \ud835\udc4f) = (\ud835\udc50, \ud835\udc51) \u21d4 \ud835\udc4e = \ud835\udc50 \ud835\udc52 \ud835\udc4f = \ud835\udc51<\/p>\n\n\n<div id=\"new-form\">\n\t<form id=\"forms_layout\">\n\t<input type=\"hidden\" id=\"chave_de\" name=\"chave_de\" value=\"01_EMIL_LEADS_TOTAIS\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"mid\" name=\"mid\" value=\"515009017\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Objetivo\" name=\"Objetivo\" value=\"Militares\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Estado_de_Origem_do_IP\" name=\"Estado_de_Origem_do_IP\"  value=\"\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Cidade_de_Origem_do_IP\" name=\"Cidade_de_Origem_do_IP\" 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cartesiano?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Voc\u00ea sabia que os <strong>pares ordenados podem ser representados em um plano cartesiano<\/strong> ortogonal? Ele foi criado pelo matem\u00e1tico Ren\u00e9 Descartes para mostrar alguns pontos no espa\u00e7o e pode ser entendido como um mapa, j\u00e1 que \u00e9 um sistema de coordenadas (x,y).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Observe a seguinte representa\u00e7\u00e3o:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/YqIPjzN6VxQ65RtvtWvZk1PLb8EKW38s04ikhCYqZOvtIqbFC7KLkTKDBJL3SP8dn2OAysuTNFI_3F8vPUlFA0lX34VnGzx9Uf2kPBgnLSzKpYq5PHJFmUVxbtlga3qmpvFxCOBqx40CkoVEnWDGF56Re2rwpfXQlW1QgAVqQE7IYqdAWwWD3CgQhw\" alt=\"\" width=\"-99\" height=\"-79\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>O<strong> eixo <\/strong><strong><em>x<\/em><\/strong><strong>,<\/strong> tamb\u00e9m chamado de <em>0x<\/em>, leva o nome de <strong>eixo das abcissas<\/strong>. J\u00e1 o <strong>eixo <\/strong><strong><em>y<\/em><\/strong>, ou <em>0y<\/em>, \u00e9 chamado de <strong>eixo das ordenadas<\/strong>. Eles s\u00e3o perpendiculares entre si, ou seja, t\u00eam um \u00e2ngulo de <strong>90<\/strong><strong><sup>o<\/sup><\/strong><strong> no ponto de intersec\u00e7\u00e3o<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>O <strong>ponto de encontro entre os eixos \u00e9 chamado de origem do sistema <\/strong>e \u00e9 representado por ponto (0,0) ou ponto 0. Ainda n\u00e3o entendeu a utilidade do plano cartesiano? Ent\u00e3o, pense que precisa localizar os pontos A, B, C, D e a \u00fanica informa\u00e7\u00e3o que voc\u00ea disp\u00f5e s\u00e3o as coordenadas:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc34(1, 0); \ud835\udc35(\u22122, 2); \ud835\udc36(1, 4); \ud835\udc37(\u22121, \u22122)<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Considere o primeiro elemento do par ordenado como sendo do eixo <\/strong><strong><em>x<\/em><\/strong><strong> e o segundo, como elemento do eixo <\/strong><strong><em>y<\/em><\/strong>. Assim, localizando A, B, C, D no plano, temos:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/tptECn56VMdq1a7oJjsRmHbi9wrShQpGI0HpzEf7l0wx60w6Yd7y0nA7U3JVpuD8LS3jMAq05oTO6wO0RcMEfY-QySRPBZpGUAoexDmVi8xA-gB3Zv_Cy9R1jqApy8NHsf_hiByG4ziMYT3eNBrBhihooc-hcRmW-rc9QzJdQhqauQA8V0KHjMyMSA\" alt=\"\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Agora, e<strong> se quisermos multiplicar dois pontos em um plano cartesiano<\/strong>? Esse \u00e9 o conceito do Produto Cartesiano!&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Se \ud835\udc34 e \ud835\udc35 s\u00e3o dois conjuntos n\u00e3o vazios, o produto cartesiano entre eles \u00e9 representado pela nota\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35 = {(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \ud835\udc52 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc35}<\/p>\n\n\n\n<p>\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35 deve ser lido como &#8220;\ud835\udc34 cartesiano \ud835\udc35&#8221;. \ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35 \u00e9 um conjunto cujos elementos s\u00e3o pares ordenados da forma (\ud835\udc65, \ud835\udc66). Assim, se \ud835\udc34 = {2, 3} e \ud835\udc35 = {0, 1, 2}, podemos dizer que:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>1) \ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35 = {(2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2)}<\/li><li>2) \ud835\udc35 \ud835\udc65 \ud835\udc34 = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Perceba que<strong> no produto cartesiano devemos escrever todas as combina\u00e7\u00f5es poss\u00edveis entre os elementos dos conjuntos envolvidos<\/strong>. Desse modo, podemos escrever a seguinte rela\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc5b(\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35) = \ud835\udc5b(\ud835\udc34) \u2219 \ud835\udc5b(\ud835\udc35)<\/p>\n\n\n\n<p>Al\u00e9m disso, o produto cartesiano n\u00e3o \u00e9 limitado a apenas dois conjuntos &#8211; <strong>podem ser quantos <\/strong><strong><em>n<\/em><\/strong><strong> conjuntos quiser<\/strong>:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>\ud835\udc34<sub>1<\/sub> \ud835\udc65 \ud835\udc34<sub>2<\/sub> \ud835\udc65 \ud835\udc34<sub>3<\/sub> \ud835\udc65 \u2026 \ud835\udc65 \ud835\udc34<sub>\ud835\udc5b<\/sub> = {(\ud835\udc65<sub>1<\/sub>, \ud835\udc65<sub>2<\/sub>, \ud835\udc65<sub>3<\/sub>, \u2026 , \ud835\udc65<sub>\ud835\udc5b<\/sub> )|\ud835\udc65<sub>1<\/sub> \u2208 \ud835\udc34<sub>1<\/sub> \u2227 \ud835\udc65<sub>2<\/sub> \u2208 \ud835\udc34<sub>2<\/sub> \u2227 \ud835\udc65<sub>3<\/sub> \u2208 \ud835\udc34<sub>3<\/sub> \u2227 \u2026 \u2227 \ud835\udc65<sub>\ud835\udc5b<\/sub> \u2208 \ud835\udc34<sub>\ud835\udc5b<\/sub>}<\/p>\n\n\n\n<p>Nesse caso, calculamos o n\u00famero de elementos do conjunto pela seguinte f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc5b(\ud835\udc34<sub>1<\/sub> \ud835\udc65 \ud835\udc34<sub>2<\/sub> \ud835\udc65 \u2026 \ud835\udc65\ud835\udc34<sub>\ud835\udc5b<\/sub>) = \ud835\udc5b(\ud835\udc34<sub>1<\/sub>) \u2219 \ud835\udc5b(\ud835\udc34<sub>2<\/sub>) \u2219 \u2026 \u2219 \ud835\udc5b(\ud835\udc34<sub>\ud835\udc5b<\/sub>)<\/p>\n\n\n\n<p>Quer um exemplo? Veja o produto cartesiano de tr\u00eas conjuntos, em que \ud835\udc34 = {1, 2}, \ud835\udc35 = {2, 3} e \ud835\udc36 = {3, 4}:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35 \ud835\udc65 \ud835\udc36 = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 3, 4), (2, 2, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 3), (2, 3, 4)}<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-propriedades\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Propriedades\"><\/span>Propriedades<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n\n\n\n<p>\u00c9 poss\u00edvel listar cinco propriedades do produto cartesiano:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>P1) \ud835\udc34 \ud835\udc65 \u2205 = \u2205<\/li><li>P2) \ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35 \u2260 \ud835\udc35 \ud835\udc65 \ud835\udc34, com \ud835\udc34 \u2260 \ud835\udc35 e n\u00e3o vazios<\/li><li>P3) \ud835\udc34<sup>2<\/sup> = \ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc34<\/li><li>P4) \ud835\udc34 \ud835\udc65 (\ud835\udc35 \u222a \ud835\udc36) = (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35) \u222a (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc36)<\/li><li>P5) \ud835\udc34 \ud835\udc65 (\ud835\udc35 \u2229 \ud835\udc36) = (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35) \u2229 (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc36)<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>A primeira e a segunda propriedade s\u00e3o mais simples de serem entendidas. Demonstraremos as tr\u00eas \u00faltimas para facilitar o entendimento!&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Ao analisarmos a <strong>propriedade P3<\/strong>, percebemos que se tomarmos \ud835\udc34 = \u211d, temos \u211d<sup>2<\/sup> = \u211d \ud835\udc65 \u211d. Ou seja, podemos representar o produto cartesiano no pr\u00f3prio plano cartesiano. Pegue, por exemplo <em>A<\/em> = {1, 2, 3} e \ud835\udc35 = {1, 2}.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/UH5xzrvJUYmda8VEhLetgO-bhrvxRQTWyTUroNz9gWcsd3-9ZIMzaLOANBs-Xit8KWte_Z5C4LzgJJAQ4HFmQZe0fNuCVK0UZJas2uBmWN6cIlu5ARQLvOhCQFdqt1mbVrEdSuMhElLi70nl6oRwN1HBAkB5t-1PzZXsNO2Bfv1Tc0qU92fBFgRwaw\" alt=\"\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Outra forma de<strong> representar o produto cartesiano \u00e9 por meio do diagrama de flecha<\/strong>s:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh5.googleusercontent.com\/AAfmmQKmkPIlD0B93mChsW0iLXp_VVpSuKeUrYHHSgfQQgxuEWDnBu_eRaF3PL65VeH09kJBdhG6cdn1tjVRC9XOisadV1m9tgnZy0mZ6GgpfgBvxBYxY2UXtBn3M5JQG7pHTWq7fxPdwz7LqsgvrLzugk89rVr-kvRT1PNpgQJEIqVjq1eYgYkVuw\" alt=\"\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>J\u00e1 na quarta propriedade, indicada por <strong>P4) \ud835\udc34 \ud835\udc65 (\ud835\udc35 \u222a \ud835\udc36) = {(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 (\ud835\udc35 \u222a \ud835\udc36)} = {(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 (\ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc35 \u2228 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc36)} <\/strong>podemos aplicar a distributiva a seguir:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">{(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 (\ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc35 \u2228 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc36)} = {(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|(\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc35) \u2228 (\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc36)}<\/p>\n\n\n\n<p>Veja que (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35) = {(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|(\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc35)} e (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc36) = {(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|(\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc36)}, ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">{(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|(\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc35) \u2228 (\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc36)} = (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35) \u222a (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc36)<br>\u2234 \ud835\udc34 \ud835\udc65 (\ud835\udc35 \u222a \ud835\udc36) = (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35) \u222a (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc36)<\/p>\n\n\n\n<p>Por fim, na quinta propriedade<strong> P5) \ud835\udc34 \ud835\udc65 (\ud835\udc35 \u2229 \ud835\udc36) = {(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 (\ud835\udc35 \u2229 \ud835\udc36)} = {(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 (\ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc35 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc36)} <\/strong>tamb\u00e9m podemos aplicar a distributiva:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">{(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 (\ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc35 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc36)} = {(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|(\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc35) \u2227 (\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc36)}<br>{(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|(\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc35) \u2227 (\ud835\udc65 \u2208 \ud835\udc34 \u2227 \ud835\udc66 \u2208 \ud835\udc36)} = (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35) \u2229 (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc36)<br>\u2234 \ud835\udc34 \ud835\udc65 (\ud835\udc35 \u2229 \ud835\udc36) = (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc35) \u2229 (\ud835\udc34 \ud835\udc65 \ud835\udc36)<\/p>\n\n\n\n<p>E a\u00ed, guerreiro? Fique atento a mais conte\u00fados de matem\u00e1tica e fun\u00e7\u00f5es no Portal do Estrat\u00e9gia Militares! N\u00e3o deixe de conhecer tamb\u00e9m os nossos cursos on-line preparat\u00f3rios e visitar o nosso site. 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No entanto, \u00e9&hellip;\n","protected":false},"author":9,"featured_media":60159,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"wl_entities_gutenberg":"","footnotes":""},"categories":[307],"tags":[],"wl_entity_type":[187],"class_list":{"0":"post-60140","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-matematica","8":"wl_entity_type-article"},"acf":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO Premium plugin v26.6 (Yoast SEO v26.6) - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Par ordenado e produto cartesiano: o que s\u00e3o e suas propriedades<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Conhe\u00e7a o que \u00e9 um par ordenado e como fazer um produto cartesiano neste resumo de Matem\u00e1tica do Estrat\u00e9gia Militares\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, 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