{"id":59877,"date":"2022-10-13T13:27:32","date_gmt":"2022-10-13T16:27:32","guid":{"rendered":"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/?p=59877"},"modified":"2023-01-30T18:21:37","modified_gmt":"2023-01-30T21:21:37","slug":"vetores-definicao-decomposicao-subtracao","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/vetores-definicao-decomposicao-subtracao\/","title":{"rendered":"Vetores: defini\u00e7\u00e3o, decomposi\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o e mais!"},"content":{"rendered":"\n<p>Os <a href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/\">conte\u00fados de f\u00edsica<\/a> s\u00e3o fundamentais para muitos Concursos Militares. Por isso, confira esta nova publica\u00e7\u00e3o do portal Estrat\u00e9gia Militares e saiba mais sobre vetores!<\/p>\n\n\n<div id=\"new-form\">\n\t<form id=\"forms_layout\">\n\t<input type=\"hidden\" id=\"chave_de\" name=\"chave_de\" value=\"01_EMIL_LEADS_TOTAIS\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"mid\" name=\"mid\" value=\"515009017\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Objetivo\" name=\"Objetivo\" value=\"Militares\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Estado_de_Origem_do_IP\" name=\"Estado_de_Origem_do_IP\"  value=\"\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Cidade_de_Origem_do_IP\" name=\"Cidade_de_Origem_do_IP\" value=\"\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Modo_de_entrada\" name=\"Modo_de_entrada\" value=\"Portal\" \/>\n\t\t<input type=\"hidden\" id=\"Pagina_Origem\" name=\"Pagina_Origem\" value=\"\" \/>\n\n\t\t<div class=\"texto\">\n\t\t\t<h3 class=\"news\">Inscreva-se em nossa newsletter!<\/h3>\n\t\t\t<p>Receba not\u00edcias sobre os mais importantes concursos para as 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ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/vetores-definicao-decomposicao-subtracao\/#Definicoes-basicas-dos-vetores\" >Defini\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas dos vetores<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/vetores-definicao-decomposicao-subtracao\/#Operacoes-matematicas-com-vetores\" >Opera\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas com vetores<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/vetores-definicao-decomposicao-subtracao\/#Adicao-de-vetores\" >Adi\u00e7\u00e3o de vetores<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/vetores-definicao-decomposicao-subtracao\/#Decomposicao-de-Vetores\" >Decomposi\u00e7\u00e3o de Vetores<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/vetores-definicao-decomposicao-subtracao\/#Decomposicao-de-vetores-em-vetores-unitarios\" >Decomposi\u00e7\u00e3o de vetores em vetores unit\u00e1rios<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-7\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/vetores-definicao-decomposicao-subtracao\/#Subtracao-de-vetores\" >Subtra\u00e7\u00e3o de vetores<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-8\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/vetores-definicao-decomposicao-subtracao\/#Produto-escalar\" >Produto escalar<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-9\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/vetores-definicao-decomposicao-subtracao\/#Produto-vetorial\" >Produto vetorial<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-10\" href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/vetores-definicao-decomposicao-subtracao\/#Veja-tambem\" >Veja tamb\u00e9m:<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-introducao\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Introducao\"><\/span>Introdu\u00e7\u00e3o<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Podemos dividir as grandezas f\u00edsicas em escalares e vetoriais. As escalares necessitam apenas da sua magnitude e sua unidade de medida para estarem definidas. Por outro lado, as grandezas vetoriais precisam de mais informa\u00e7\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n<p>Vamos usar o exemplo de quando estamos perdidos e pedimos informa\u00e7\u00f5es para algu\u00e9m. Se a pessoa disser apenas que voc\u00ea est\u00e1 a alguns quil\u00f4metros do seu destino, isso n\u00e3o \u00e9 suficiente para chegar at\u00e9 l\u00e1. As perguntas que voc\u00ea far\u00e1 para o informante \u00e9: para qual dire\u00e7\u00e3o? E qual sentido?<\/p>\n\n\n\n<p>O estudo dos vetores \u00e9 fundamental para a melhor compreens\u00e3o das grandezas f\u00edsicas. Algumas defini\u00e7\u00f5es s\u00e3o feitas diretamente por produto escalar ou produto vetorial, por exemplo. Por isso, vamos estudar o que s\u00e3o vetores e os principais c\u00e1lculos utilizados na F\u00edsica.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-definicoes-basicas-dos-vetores\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Definicoes-basicas-dos-vetores\"><\/span>Defini\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas dos vetores<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Vetor \u00e9 um ente matem\u00e1tico determinado por segmentos orientados, caracterizados por: m\u00f3dulo, dire\u00e7\u00e3o e sentido.<\/p>\n\n\n\n<p>Para represent\u00e1-lo no espa\u00e7o, precisamos definir um comprimento proporcional ao seu m\u00f3dulo, sempre um n\u00famero real positivo.<\/p>\n\n\n\n<p>Normalmente, indicamos um vetor por uma letra com uma flecha em cima. Em textos impressos, os vetores podem ser denotados tamb\u00e9m por negrito: ?,?,?,? , etc. Para se referir apenas ao m\u00f3dulo do vetor, representamos como mostrado na figura abaixo:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"408\" height=\"242\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-01.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59884\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 1 &#8211; Representa\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica de dois vetores<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Assim, verificamos que os segmentos <strong>??<\/strong> e <strong>?<\/strong><strong>\u2032<\/strong><strong>?<\/strong><strong>\u2032<\/strong> est\u00e3o em dire\u00e7\u00f5es orientadas paralelas entre si, com mesmo sentido, e os comprimentos destes segmentos de retas s\u00e3o iguais. Diante disso, podemos afirmar a condi\u00e7\u00e3o de igualdade entre dois vetores:<\/p>\n\n\n\n<p><em>Dois vetores s\u00e3o iguais entre si quando possuem o mesmo m\u00f3dulo, a mesma dire\u00e7\u00e3o e o mesmo sentido.<\/em> <\/p>\n\n\n\n<p>Assim, podemos dizer que: <strong>??<\/strong> = <strong>?\u2032?\u2032<\/strong> = <strong>?<\/strong>. Portanto, <strong>?<\/strong> \u00e9 o vetor que os dois segmentos de reta representam. <\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-operacoes-matematicas-com-vetores\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Operacoes-matematicas-com-vetores\"><\/span>Opera\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas com vetores<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Semelhante \u00e0 \u00e1lgebra dos n\u00fameros, \u00e9 poss\u00edvel realizar diversas opera\u00e7\u00f5es com vetores. Vamos citar as mais usuais em f\u00edsica. Para realizar essas opera\u00e7\u00f5es \u00e9 necess\u00e1rio tomar alguns cuidados, pois, diferente dos n\u00fameros, existem regras pr\u00f3prias.<\/p>\n\n\n\n<p>Algumas opera\u00e7\u00f5es com vetores:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Adi\u00e7\u00e3o de vetores;<\/li>\n\n\n\n<li>Multiplica\u00e7\u00e3o de vetor por escalar;<\/li>\n\n\n\n<li>Subtra\u00e7\u00e3o de vetores;<\/li>\n\n\n\n<li>Produto escalar; e<\/li>\n\n\n\n<li>Produto vetorial.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-adicao-de-vetores\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Adicao-de-vetores\"><\/span>Adi\u00e7\u00e3o de vetores<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Para somar dois vetores, vamos introduzir a ideia por meio de um exemplo. Suponha que um jovem atleta deseje correr em uma pra\u00e7a em formato de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo conforme a figura abaixo. Ele sai do ponto A em dire\u00e7\u00e3o ao ponto B, em seguida para o ponto C.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"437\" height=\"387\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-02.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59888\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 2 &#8211; Imagem representativa de uma pra\u00e7a para efeitos did\u00e1ticos<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<p>A pra\u00e7a possui as seguintes dimens\u00f5es: ?? = 60 ?, ?? = 80 ? e ?? = 100 ?. Indicamos por <strong>?<\/strong> o vetor deslocamento no trecho ??, por <strong>?<\/strong> o vetor deslocamento no trecho ?? e por <strong>?<\/strong> o deslocamento resultante. Matematicamente, dizemos que:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"142\" height=\"67\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-03.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59890\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Observe que, em m\u00f3dulos, <strong>?<\/strong> \u2260 <strong>?<\/strong><strong> <\/strong>+ <strong>?<\/strong>, isto \u00e9, o tamanho do vetor <strong>?<\/strong> \u00e9 diferente da soma dos m\u00f3dulos de <strong>?<\/strong> e <strong>?<\/strong>. Para encontrar o m\u00f3dulo do vetor resultante, dados que <strong>?<\/strong> e <strong>?<\/strong> s\u00e3o perpendiculares entre si, utilizaremos sempre o teorema de Pit\u00e1goras:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">? <sup>2<\/sup> = ?<sup>2<\/sup> + ?<sup>2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">? <sup>2<\/sup> = 60<sup>2<\/sup> + 80<sup>2<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">? = 100 ?<\/p>\n\n\n\n<p>At\u00e9 aqui, foi definido apenas o m\u00f3dulo do vetor <strong>?<\/strong>. Para definir completamente o vetor, precisamos definir a dire\u00e7\u00e3o, isto \u00e9, o \u00e2ngulo ? que o vetor faz com o segmento <strong>??<\/strong>. Este \u00e2ngulo pode ser determinado por interm\u00e9dio da tangente do \u00e2ngulo ?:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"583\" height=\"120\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-04.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59892\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>A partir desse exemplo, podemos ver que somar dois vetores n\u00e3o \u00e9 simplesmente somar dois n\u00fameros. Somar vetores \u00e9 uma opera\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica.<\/p>\n\n\n\n<p>Antes de caminharmos para as regras de adi\u00e7\u00e3o de vetores, vamos trabalhar alguns casos especiais, onde os vetores est\u00e3o na mesma dire\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-vetores-com-mesma-direcao-e-mesmo-sentido\">Vetores com mesma dire\u00e7\u00e3o e mesmo sentido<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"658\" height=\"137\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-05.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59894\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 3 &#8211; Soma de vetores mesma dire\u00e7\u00e3o<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dessa forma, ao somar dois vetores que t\u00eam a mesma dire\u00e7\u00e3o e mesmo sentido, o vetor resultante ter\u00e1 a mesma dire\u00e7\u00e3o e sentido dos operandos e seu m\u00f3dulo ser\u00e1 a soma dos m\u00f3dulos.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-vetores-com-mesma-direcao-e-sentidos-opostos\">Vetores com mesma dire\u00e7\u00e3o e sentidos opostos<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"550\" height=\"182\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-06.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59896\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 4 &#8211; Soma de vetores de dire\u00e7\u00e3o oposta<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Ao somarmos dois vetores que t\u00eam mesma dire\u00e7\u00e3o e sentidos opostos, a dire\u00e7\u00e3o do vetor resultante ser\u00e1 a mesma dos vetores operandos, mas o sentido ser\u00e1 mesmo determinado por aquele que tiver o maior m\u00f3dulo. O m\u00f3dulo do vetor resultante ser\u00e1 dado pela diferen\u00e7a do maior m\u00f3dulo com o menor m\u00f3dulo.<\/p>\n\n\n\n<p>Existem tr\u00eas m\u00e9todos para somar vetores: regra do paralelogramo, regra do pol\u00edgono e a decomposi\u00e7\u00e3o de vetores. Neste primeiro artigo, iremos ver apenas as duas primeiras.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-regra-do-paralelogramo\">Regra do Paralelogramo<\/h3>\n\n\n\n<p>Este m\u00e9todo \u00e9 utilizado para calcular a soma de dois vetores quando \u00e9 conhecido o \u00e2ngulo formado entre eles. Geralmente, quando usamos esse m\u00e9todo, utilizamos a lei dos cossenos para a determina\u00e7\u00e3o do vetor resultante.<\/p>\n\n\n\n<p>Vamos recordar duas leis importantes da geometria plana para um tri\u00e2ngulo qualquer:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"828\" height=\"406\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-07.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59897\" srcset=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-07.jpg 828w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-07-768x377.webp 768w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-07-800x392.webp 800w\" sizes=\"(max-width: 828px) 100vw, 828px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 5 &#8211; Tri\u00e2ngulo qualquer<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"737\" height=\"317\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-08.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59899\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Depois de relembrar essas duas leis, vamos aplic\u00e1-las na regra do paralelogramo.<\/p>\n\n\n\n<p>Primeiramente, colocamos os dois vetores com origem em comum (ponto O) e constru\u00edmos um paralelogramo, fazendo linhas tracejadas paralelas aos vetores, passando pelas extremidades dos operandos.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Em seguida, liga-se a origem dos vetores (ponto O) ao encontro das linhas tracejadas (ponto C), determinando o vetor resultante<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"91\" height=\"40\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-09.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59900\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>conforme figura abaixo:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"807\" height=\"415\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-10.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59901\" srcset=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-10.jpg 807w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-10-768x395.webp 768w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-10-800x411.webp 800w\" sizes=\"(max-width: 807px) 100vw, 807px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 6 &#8211; Processo de soma de vetores pela regra do paralelogramo<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Olhando para o paralelogramo abaixo, podemos aplicar a regra do paralelogramo, lembrando algumas propriedades da Geometria Plana e da Trigonometria:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"427\" height=\"303\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-11.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59903\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 7 \u2013 Vetor resultante<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<p>No tri\u00e2ngulo AOC, vamos chamar o \u00e2ngulo ?\u00c2? de ? e o \u00e2ngulo ?\u00d4? de ? (\u00e2ngulo entre os dois vetores). De acordo com a Geometria Plana, ? + ? = 180\u00b0 \u21d2 ? = 180 \u2212 ?. Da Trigonometria, sabemos que cos ? =\u2212 ????. Ent\u00e3o, aplicando a lei dos cossenos para o tri\u00e2ngulo AOC, temos:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">? <sup>2<\/sup> = ?<sup>2<\/sup> + ?<sup>2<\/sup> \u2212 2?.?. cos ? \u21d2 ?<sup>2<\/sup> = ?<sup>2<\/sup> + ?<sup>2<\/sup> + 2.?.?. \u2212 ???? \u21d2<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">?<sup>2<\/sup> = ?<sup>2<\/sup> + ?<sup>2<\/sup> + 2.?.?.????<\/p>\n\n\n\n<p>Diante desse resultado, podemos criar um m\u00e9todo para determinar o m\u00f3dulo do vetor soma. Aplicando os passos:<\/p>\n\n\n\n<p>1) Coloca-se os vetores em origem comum;<\/p>\n\n\n\n<p>2) Conhecemos o valor do \u00e2ngulo formado pelos vetores que queremos somar;<\/p>\n\n\n\n<p>3) Cumpridos os passos 1 e 2, aplicamos a f\u00f3rmula anterior e encontramos o vetor desejado.<\/p>\n\n\n\n<p>Esse m\u00e9todo limita-se \u00e0 soma de dois vetores apenas. Para somar mais vetores, precisamos aplicar a regra do paralelogramo para dois vetores e, a partir do resultante, aplicar novamente a regra &#8211; e assim sucessivamente.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Isso torna o m\u00e9todo nada usual para o caso da soma de <em>n<\/em> vetores. Ent\u00e3o, veremos uma regra mais \u00fatil para esse tipo de problema: a regra do pol\u00edgono.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-regra-do-poligono\">Regra do Pol\u00edgono<\/h3>\n\n\n\n<p>Vamos pegar quatro vetores distintos, de acordo com a figura abaixo:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"627\" height=\"258\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-12.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59905\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 8 &#8211; Vetores a serem somados pela regra do pol\u00edgono<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<p>O vetor resultante pode ser obtido da seguinte forma:<\/p>\n\n\n\n<p>1) Escolha um vetor para ser o \u201cvetor origem\u201d (escolhemos o vetor <strong>?<\/strong>). A partir dele, escolha qualquer um (escolhemos o vetor <strong>?<\/strong>) e coloque a origem do vetor escolhido na extremidade do \u201cvetor origem\u201d;<\/p>\n\n\n\n<p>2) Em seguida, escolha qualquer um dos vetores que sobrou e coloque a origem na extremidade do vetor anterior (<strong>?<\/strong>) e assim, at\u00e9 que todos os vetores estejam colocados em ordem, a origem na extremidade do anterior;<\/p>\n\n\n\n<p>3) O vetor resultante est\u00e1 determinado ligando a origem do primeiro vetor \u00e0 extremidade do \u00faltimo.<\/p>\n\n\n\n<p>A figura abaixo ilustra nosso exemplo:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"318\" height=\"302\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-13.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59906\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 9 &#8211; Vetor resultante utilizando a regra do pol\u00edgono<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n<p>A forma como mostramos a regra do pol\u00edgono ilustra as propriedades comutativa e associativa da soma de vetores.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"726\" height=\"162\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-14.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59908\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">No nosso caso, queremos saber<\/figcaption><\/figure>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"193\" height=\"42\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-15.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59909\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>e pelas propriedades comutativa e associativa podemos escrever que:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"355\" height=\"48\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-16.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-59910\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Com esse exemplo, vemos que n\u00e3o importa a ordem como escolhemos os vetores, desde que sejam respeitadas as regras.<\/p>\n\n\n\n<p>Al\u00e9m disso, podemos ver que se efetuarmos a soma e a extremidade do \u00faltimo cair na origem do primeiro, teremos um pol\u00edgono fechado dos vetores, de tal forma que a extremidade do vetor soma coincide com a pr\u00f3pria origem. Ent\u00e3o, o vetor resultante ser\u00e1 o vetor nulo (0).<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-decomposicao-de-vetores\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Decomposicao-de-Vetores\"><\/span>Decomposi\u00e7\u00e3o de Vetores<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Este m\u00e9todo \u00e9 muito importante na F\u00edsica, j\u00e1 que podemos descrever diversas grandezas vetoriais em sistemas de coordenadas \ud835\udc65\ud835\udc66\ud835\udc67, na resolu\u00e7\u00e3o de problemas com tr\u00eas dimens\u00f5es, ou em sistema \ud835\udc65\ud835\udc66, em duas. \u00c9 comum colocar as vari\u00e1veis em um mesmo eixo para solucion\u00e1-las.<\/p>\n\n\n\n<p>Vamos pegar um vetor&nbsp;<strong>\ud835\udc39<\/strong>&nbsp;qualquer, que pode ser uma for\u00e7a, por exemplo. Pela regra do paralelogramo, estudada no conte\u00fado anterior, podemos dizer que ele \u00e9 a soma de outros dois vetores, por exemplo:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"158\" height=\"67\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-01.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60201\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Assim, \u00e9 interessante observar que, para fazer os c\u00e1lculos, deve-se escolher um paralelogramo que possua propriedades que facilitem nossas contas.<\/p>\n\n\n\n<p>Na matem\u00e1tica sabemos que um ret\u00e2ngulo \u00e9 um tipo de paralelogramo com \u00e2ngulos de 90\u00b0 e o que facilita muito os c\u00e1lculos. Ent\u00e3o, o melhor caminho \u00e9 escolher vetores que sejam ortogonais, isto \u00e9, formam um \u00e2ngulo de 90\u00b0 quando colocadas as origens em comum.<\/p>\n\n\n\n<p>Uma vez que os vetores podem ser ortogonais, podemos usar os sistemas de eixos coordenadas para auxiliar.<\/p>\n\n\n\n<p>Dessa forma, podemos escrever&nbsp;<strong>\ud835\udc39&nbsp;<\/strong>como a soma de um vetor no eixo x (<strong>\ud835\udc39<sub>\ud835\udc65<\/sub><\/strong>&nbsp;) e outro vetor no eixo y (<strong>\ud835\udc39<sub>\ud835\udc66&nbsp;<\/sub><\/strong>). Assim, temos que:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"161\" height=\"58\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-02.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60202\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Podemos representar da seguinte forma:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"293\" height=\"303\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-03.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60204\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 1 \u2013 Decomposi\u00e7\u00e3o de vetores no plano xy<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Esses vetores&nbsp;<strong>\ud835\udc39<sub>\ud835\udc65<\/sub><\/strong>&nbsp;e&nbsp;<strong>\ud835\udc39<sub>\ud835\udc66<\/sub><\/strong>&nbsp;s\u00e3o chamados de proje\u00e7\u00f5es do vetor&nbsp;<strong>\ud835\udc39<\/strong>&nbsp;nos eixos \ud835\udc65 e \ud835\udc66, respectivamente. Pela geometria, podemos dizer que:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"392\" height=\"212\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-04.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60205\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Por esse m\u00e9todo, se temos v\u00e1rios vetores a serem somados, basta colocar todos na mesma origem e os projetar nos eixos \ud835\udc65 e \ud835\udc66. Em seguida, efetua-se a soma de acordo com as regras de adi\u00e7\u00e3o em mesma dire\u00e7\u00e3o, obtendo um vetor resultante em cada eixo.<\/p>\n\n\n\n<p>Para concluir, basta usar a regra do paralelogramo para esses dois vetores restantes para obter o vetor soma desejado. Como os eixos s\u00e3o sempre ortogonais, vamos sempre recair em dois vetores ortogonais, com f\u00e1cil aplica\u00e7\u00e3o do teorema de Pit\u00e1goras para o vetor desejado.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo:<\/strong>&nbsp;determine o vetor soma&nbsp;<strong>\ud835\udc60<\/strong>&nbsp;entre os vetores dados&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>,&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>,&nbsp;<strong>\ud835\udc50<\/strong>. Dado que cos \ud835\udefc = 0,6 e \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udefd = 0,8.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"607\" height=\"477\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-05.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60206\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Primeiramente, iremos decompor cada vetor nos eixos x e y:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"527\" height=\"443\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-06.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60207\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Assim, temos que:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"517\" height=\"135\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-07.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60208\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Portanto, temos os seguintes vetores resultantes para cada eixo:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"497\" height=\"92\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-08.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60209\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Assim, reduzimos nossos vetores aos resultantes em cada eixo:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"605\" height=\"342\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-09.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60210\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Para finalizar, devemos determinar sua dire\u00e7\u00e3o e sentido para que o vetor fique completamente definido, como na figura abaixo:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"725\" height=\"283\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-10.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60211\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Com esse exemplo, conclu\u00edmos que qualquer vetor pode ser projetado em eixos ortogonais entre si. Dado um sistema coordenado no \ud835\udc45<sup>3<\/sup>&nbsp;(\ud835\udc65,\ud835\udc66,\ud835\udc67), conforme figura abaixo, podemos decompor o vetor&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;nos tr\u00eas eixos:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"925\" height=\"532\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-11.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60212\" srcset=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-11.jpg 925w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-11-768x442.jpg 768w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-11-380x220.jpg 380w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-11-800x460.jpg 800w\" sizes=\"(max-width: 925px) 100vw, 925px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Assim, representar um vetor por suas componentes torna a opera\u00e7\u00e3o de soma muito mais simplificada, pois, para somar dois vetores, basta somar as partes:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"517\" height=\"152\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-12.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60213\"\/><\/figure>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-multiplicacao-por-um-escalar\"><strong>Multiplica\u00e7\u00e3o por um escalar<\/strong><\/h3>\n\n\n\n<p>Outra opera\u00e7\u00e3o muito comum e importante no universo dos vetores \u00e9 a multiplica\u00e7\u00e3o de um vetor por um escalar. Podemos anotar essa opera\u00e7\u00e3o da seguinte forma:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"111\" height=\"52\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-13.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60214\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Onde \ud835\udc5b \u00e9 um n\u00famero real qualquer,&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;\u00e9 o vetor obtido ao multiplicar o vetor&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;pelo escalar \ud835\udc5b.<\/p>\n\n\n\n<p>Como resultado dessa defini\u00e7\u00e3o, podemos notar que:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"322\" height=\"57\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-14.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60215\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Isto \u00e9, o m\u00f3dulo do vetor obtido \u00e9 o produto do m\u00f3dulo do escalar pelo m\u00f3dulo do vetor multiplicado.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Multiplicar pelo escalar \u00e9 alterar o tamanho do vetor. Ao efetuar essa opera\u00e7\u00e3o existem dois poss\u00edveis tipos de mudan\u00e7a no m\u00f3dulo:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"277\" height=\"75\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-15-1.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60217\"\/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"308\" height=\"70\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-16.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60218\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>2)&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;tem a mesma dire\u00e7\u00e3o de&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>;<\/p>\n\n\n\n<p>3) o sentido de&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;\u00e9 o mesmo de&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;quando \ud835\udc5b &gt; 0 e o sentido de&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;\u00e9 o contr\u00e1rio de&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;quando \ud835\udc5b &lt; 0. Se \ud835\udc5b = 0, obtemos como resultado o vetor nulo, representado por&nbsp;<strong>0<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Quando o vetor representado na forma&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;= (\ud835\udc4e<sub>\ud835\udc65<\/sub>&nbsp;,\ud835\udc4e<sub>\ud835\udc66<\/sub>&nbsp;,\ud835\udc4e<sub>\ud835\udc67<\/sub>), ent\u00e3o o valor de&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;= \ud835\udc5b.<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;\u00e9 dado por&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;= (\ud835\udc5b\ud835\udc4e<sub>\ud835\udc65<\/sub>&nbsp;, \ud835\udc5b\ud835\udc4e<sub>\ud835\udc66<\/sub>&nbsp;, \ud835\udc5b\ud835\udc4e<sub>\ud835\udc67<\/sub>);<\/p>\n\n\n\n<p>4) Para o caso de \ud835\udc5b = \u2212 1, o vetor obtido recebe o nome de vetor oposto, pois como para os n\u00fameros, o oposto \u00e9 um n\u00famero que somado ao pr\u00f3prio n\u00famero d\u00e1 como resultado zero.<\/p>\n\n\n\n<p>Por exemplo, o oposto de 10 \u00e9 -10, pois 10 + \u2212 10 = 0. Como visto no item anterior, ao multiplicar por um n\u00famero negativo, troca-se o sentido do vetor. Dessa forma, o vetor oposto a&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;\u00e9 o vetor \u2212&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>, pois, teremos que:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"167\" height=\"52\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-17.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60219\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Neste momento, podemos falar de um vetor muito importante para representa\u00e7\u00f5es f\u00edsicas, com uma aplica\u00e7\u00e3o que facilita muito nossa vida.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"263\" height=\"136\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-18.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60220\"\/><\/figure>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-vetores-unitarios\"><strong>Vetores unit\u00e1rios<\/strong><\/h3>\n\n\n\n<p>Vetor unit\u00e1rio \u2013 chamado, \u00e0s vezes, de versor \u2013 \u00e9 aquele cujo m\u00f3dulo \u00e9 igual a 1.<\/p>\n\n\n\n<p>Existem dois vetores unit\u00e1rios que formam a base can\u00f4nica, no \ud835\udc45<sup>2<\/sup>&nbsp;((\ud835\udc65,\ud835\udc66)), que s\u00e3o dados por:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"246\" height=\"66\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-19.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60221\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Para o \ud835\udc45<sup>3<\/sup>, temos a seguinte base can\u00f4nica:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"557\" height=\"58\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-20.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60222\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Para construir um vetor unit\u00e1rio<strong>&nbsp;\ud835\udc62<\/strong>&nbsp;que tenha a mesma dire\u00e7\u00e3o e o mesmo sentido que o vetor&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>, devemos dividir o vetor&nbsp;<strong>\ud835\udc4e&nbsp;<\/strong>pelo seu m\u00f3dulo:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"246\" height=\"101\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-21.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60223\"\/><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-decomposicao-de-vetores-em-vetores-unitarios\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Decomposicao-de-vetores-em-vetores-unitarios\"><\/span>Decomposi\u00e7\u00e3o de vetores em vetores unit\u00e1rios<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Para facilitar nossas contas, podemos decompor os vetores em vetores unit\u00e1rios em cada um dos planos apresentados. Vamos fazer para o \u211d<sup>2<\/sup>, mas para o \u211d<sup>3<\/sup>&nbsp;ocorre de forma an\u00e1loga. Tomemos um vetor no \u211d<sup>2<\/sup>:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"368\" height=\"321\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-22.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60224\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 03: Vetor unit\u00e1rio decomposto no plano xy<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Por conven\u00e7\u00e3o, simbolizamos os vetores unit\u00e1rios com um \u201cchap\u00e9u\u201d:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"482\" height=\"40\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-23.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60225\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Dessa forma, podemos dizer que:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"305\" height=\"83\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-24.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60226\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o, podemos escrever a proje\u00e7\u00e3o em um eixo como sendo o produto do vetor unit\u00e1rio daquele eixo pelo m\u00f3dulo da proje\u00e7\u00e3o. Assim, temos que:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"167\" height=\"46\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-25.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60227\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Caso o vetor&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;estivesse sendo trabalhado no \ud835\udc45<sup>3<\/sup>, ter\u00edamos que:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"217\" height=\"81\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-26.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60228\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Caso o vetor n\u00e3o esteja na origem, podemos escrev\u00ea-lo da seguinte forma:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"430\" height=\"393\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-27.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60229\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 04 \u2013 Representa\u00e7\u00e3o de um vetor em fun\u00e7\u00e3o dos vetores unit\u00e1rios<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Assim, podemos escrever o vetor da seguinte forma:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"345\" height=\"77\" src=\"https:\/\/cdn.blog.estrategiavestibulares.com.br\/vestibulares\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/Vetores-2-28.jpg.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-60230\"\/><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-subtracao-de-vetores\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Subtracao-de-vetores\"><\/span>Subtra\u00e7\u00e3o de vetores<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Para efetuar a subtra\u00e7\u00e3o de vetores, basta pensarmos que a subtra\u00e7\u00e3o \u00e9 um caso particular da adi\u00e7\u00e3o, devido \u00e0 exist\u00eancia do elemento oposto. Assim, podemos fazer:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"265\" height=\"57\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-01.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60601\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Em outras palavras, para fazer a subtra\u00e7\u00e3o basta somar o primeiro com o oposto do segundo. Geometricamente podemos ver a opera\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"448\" height=\"483\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-02.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60602\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 1 \u2013 Figura ilustrativa do processo de subtra\u00e7\u00e3o de vetores<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Analisando a figura acima, podemos criar um m\u00e9todo para efetuar a subtra\u00e7\u00e3o geometricamente.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Inicialmente, colocamos os dois vetores em origem comum e tra\u00e7amos o vetor diferen\u00e7a ligando a extremidade do segundo termo da subtra\u00e7\u00e3o (<strong>\ud835\udc4f<\/strong>) \u00e0 extremidade do primeiro termo (<strong>\ud835\udc4e<\/strong>),&nbsp;<strong>sempre nessa ordem<\/strong>, como indicado na figura abaixo:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"357\" height=\"272\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-03.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60603\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 2 \u2013 Vetor resultante da subtra\u00e7\u00e3o<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Algebricamente, podemos determinar que o m\u00f3dulo do vetor diferen\u00e7a ser\u00e1 obtido determinado pela lei dos cossenos, desde que conhecido o \u00e2ngulo entre os vetores:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"623\" height=\"72\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-04.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60604\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Note que existe uma pequena diferen\u00e7a no sinal da express\u00e3o do m\u00f3dulo do vetor diferen\u00e7a e a express\u00e3o do m\u00f3dulo do vetor soma.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Esse fato ocorre simplesmente por causa da geometria diferente dos dois problemas.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Quando o vetor \u00e9 escrito em fun\u00e7\u00e3o das suas componentes, o vetor diferen\u00e7a \u00e9 obtido de forma mais simples. Vamos mostrar para vetores no \ud835\udc45<sup>3<\/sup>:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"546\" height=\"153\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-05.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60605\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Essas s\u00e3o as opera\u00e7\u00f5es mais comuns na matem\u00e1tica dos vetores.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Entretanto, existem duas opera\u00e7\u00f5es, n\u00e3o t\u00e3o trabalhadas comumente, mas que t\u00eam grande import\u00e2ncia na F\u00edsica. Vamos definir os dois tipos de produtos entre vetores. Diversas grandezas f\u00edsicas s\u00e3o definidas utilizando essas opera\u00e7\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"256\" height=\"146\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-06.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60606\"\/><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-produto-escalar\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Produto-escalar\"><\/span>Produto escalar<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Define-se produto escalar entre&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;e&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;(escreve-se&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp; e l\u00ea-se \u201ca escalar b\u201d) como a grandeza escalar cujo valor num\u00e9rico \u00e9 obtido multiplicando os m\u00f3dulos dos dois vetores operandos e tamb\u00e9m o cosseno do \u00e2ngulo formado entre eles. Isto \u00e9:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"356\" height=\"223\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-07.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60607\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 3 \u2013 Produto escalar de dois vetores<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Primeiramente, \u00e9 muito importante notar que essa opera\u00e7\u00e3o resulta em um valor num\u00e9rico. Fisicamente, esse produto entre duas grandezas vetoriais resulta em uma grandeza escalar. Alguns exemplos de grandezas escalares s\u00e3o: o trabalho de uma for\u00e7a, o potencial el\u00e9trico, o fluxo do campo el\u00e9trico, o fluxo do campo magn\u00e9tico etc.<\/p>\n\n\n\n<p>Diante disso, precisamos saber trabalhar bem com produto escalar e, para isso, vamos ver algumas propriedades:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"570\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-08-1024x570.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60609\" srcset=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-08-1024x570.jpg 1024w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-08-768x428.jpg 768w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-08-800x446.jpg 800w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-08.jpg 1133w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p><strong>\ud835\udc4e<\/strong><strong>.<\/strong><strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;=&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong><strong>.<\/strong><strong>\ud835\udc4e<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;(<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc50<\/strong>) =&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc50<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;= |<strong>\ud835\udc4e<\/strong>|<sup>2<\/sup>;<\/p>\n\n\n\n<p>(\ud835\udc58<strong>\ud835\udc4e<\/strong>).<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;=&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.(\ud835\udc58<strong>\ud835\udc4f<\/strong>) = \ud835\udc58(<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>);<\/p>\n\n\n\n<p>|\ud835\udc58<strong>\ud835\udc4e<\/strong>| = |\ud835\udc58|. |<strong>\ud835\udc4e<\/strong>|;<\/p>\n\n\n\n<p>|<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>| \u2264 |<strong>\ud835\udc4e<\/strong>| |<strong>\ud835\udc4f<\/strong>|, pois \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udf03 \u2264 1;<\/p>\n\n\n\n<p>|<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>| \u2264 |<strong>\ud835\udc4e<\/strong>| + |<strong>\ud835\udc4f<\/strong>|. Vamos fazer a demonstra\u00e7\u00e3o dessa propriedade devido a sua utilidade.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-demonstracao\">Demonstra\u00e7\u00e3o<\/h3>\n\n\n\n<p>Inicialmente, vamos fazer |<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>|<sup>2<\/sup>&nbsp;= (<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>) . (<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>), usando a propriedade P3;<\/p>\n\n\n\n<p>Em seguida, aplicando P4, temos que: |<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>|<sup>2<\/sup>&nbsp;= (<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>) . (<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>) =&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;+ 2.<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>;<\/p>\n\n\n\n<p>Aplicando-se novamente a propriedade P3, temos que: |<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>|<sup>2<\/sup>&nbsp;=&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;+ 2.<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;+&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;= |<strong>\ud835\udc4e<\/strong>|<sup>2<\/sup>&nbsp;+ 2.<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;+ |<strong>\ud835\udc4f<\/strong>|<sup>2<\/sup>;<\/p>\n\n\n\n<p>Como&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;\u2264<strong>&nbsp;\ud835\udc4e<\/strong>.<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;\u2013 isto \u00e9, um n\u00famero real \u00e9 sempre menor ou igual ao seu m\u00f3dulo \u2013 e considerando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos que:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"767\" height=\"128\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-09.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60611\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Verifica-se a igualdade nessa inequa\u00e7\u00e3o quando \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udf03 = 1. Em outras palavras, quando os vetores s\u00e3o paralelos.<\/p>\n\n\n\n<p>Pela defini\u00e7\u00e3o, se o produto escalar de dois vetores \u2013 sendo&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;\u2260 0 \ud835\udc52&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;\u2260 0 com \u00e2ngulo \ud835\udf03 entre eles \u2013 \u00e9 nulo, os vetores s\u00e3o perpendiculares:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"578\" height=\"68\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-10.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60612\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>\u00c9 imediato perceber que se um dos vetores \u00e9 nulo, o produto vetorial dele com qualquer outro tamb\u00e9m ser\u00e1 zero:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"176\" height=\"72\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-11.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60613\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Pode-se mostrar que para dois vetores escritos em fun\u00e7\u00e3o de suas componentes \u2013&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;= (\ud835\udc4e<sub>\ud835\udc65<\/sub>&nbsp;,\ud835\udc4e<sub>\ud835\udc66<\/sub>&nbsp;,\ud835\udc4e<sub>\ud835\udc67<\/sub>&nbsp;) e&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;= (\ud835\udc4f<sub>\ud835\udc65<\/sub>&nbsp;,\ud835\udc4f<sub>\ud835\udc66<\/sub>&nbsp;,\ud835\udc4f<sub>\ud835\udc67<\/sub>&nbsp;) -, seu produto escalar ser\u00e1 dado por:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"317\" height=\"63\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-12.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60614\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p><strong>Isto \u00e9,<\/strong>&nbsp;o produto escalar ser\u00e1 dado pelo produto das componentes do mesmo eixo. Dessa forma, pela defini\u00e7\u00e3o, podemos calcular o \u00e2ngulo entre dois vetores a partir do produto escalar:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"551\" height=\"470\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-13.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60616\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 4 \u2013 Representa\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica dos vetores, para calcular o \u00e2ngulo entre os vetores<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"256\" height=\"146\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-06.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60606\"\/><\/figure>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-produto-vetorial\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Produto-vetorial\"><\/span>Produto vetorial<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Define-se o produto vetorial entre&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;e&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;como a grandeza vetorial cujo resultado tamb\u00e9m \u00e9 um vetor perpendicular ao plano dos vetores operandos. Escreve-se&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>\ud835\udc65<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;(l\u00ea-se \u201ca vetor b\u201d).&nbsp;&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Defini\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica:<\/strong>&nbsp;dados os vetores&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;= (\ud835\udc4e<sub>\ud835\udc65<\/sub>, \ud835\udc4e<sub>\ud835\udc66<\/sub>, \ud835\udc4e<sub>\ud835\udc67<\/sub>) e&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;= (\ud835\udc4f<sub>\ud835\udc65<\/sub>, \ud835\udc4f<sub>\ud835\udc66<\/sub>, \ud835\udc4f<sub>\ud835\udc67<\/sub>) de \u211d3, definimos o produto vetorial entre&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;e&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;como:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"620\" height=\"156\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-14.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60617\"\/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"510\" height=\"56\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-15.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60618\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Para determinar o sentido do vetor resultante, utilizamos a regra da m\u00e3o direita envolvente. Inicialmente, posiciona-se a m\u00e3o direita na origem comum aos dois vetores e rotaciona-se no sentido do primeiro vetor (<strong>\ud835\udc4e<\/strong>) para o segundo vetor (<strong>\ud835\udc4f<\/strong>).<\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o, o polegar da m\u00e3o direita mostrar\u00e1 a dire\u00e7\u00e3o do vetor resultante do produto vetorial&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>\ud835\udc65<strong>\ud835\udc4f<\/strong>, como na figura abaixo:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"557\" height=\"492\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-16.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60619\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 5 \u2013 Regra da m\u00e3o direita envolvente<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>\u00c9 f\u00e1cil notar que para realizar a regra da m\u00e3o direita \u00e9 importante preocupar-se com a ordem dos vetores, pois isso altera a dire\u00e7\u00e3o do vetor resultante.<\/p>\n\n\n\n<p>Assim, podemos observar que:&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>\ud835\udc65<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;\u2260&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>\ud835\udc65<strong>\ud835\udc4e<\/strong>. Ou seja,&nbsp;&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>\ud835\udc65<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;=\u2212&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>\ud835\udc65<strong>\ud835\udc4e<\/strong>. Sendo assim, n\u00e3o podemos aplicar a propriedade comutativa para produtos vetoriais.<\/p>\n\n\n\n<p>Para determinar o m\u00f3dulo do produto vetorial entre&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;\ud835\udc52&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>&nbsp;usamos a express\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"276\" height=\"92\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-17.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60620\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Algumas grandezas f\u00edsicas importantes s\u00e3o definidas por um produto vetorial, tais como: velocidade angular, torque, for\u00e7a magn\u00e9tica que atua sobre uma carga puntiforme, entre outras.<\/p>\n\n\n\n<p>Para melhorar nossos trabalhos com produto vetorial, vamos enumerar algumas propriedades:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"500\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-18-1024x500.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60621\" srcset=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-18-1024x500.jpg 1024w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-18-768x375.jpg 768w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-18-800x391.jpg 800w, https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-18.jpg 1111w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Analisando geometricamente o m\u00f3dulo do produto vetorial entre&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;e&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>, pode-se interpretar que ele \u00e9 numericamente igual \u00e0 \u00e1rea do paralelogramo formado pelos vetores&nbsp;<strong>\ud835\udc4e<\/strong>&nbsp;e&nbsp;<strong>\ud835\udc4f<\/strong>, de acordo com a figura abaixo:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" width=\"752\" height=\"536\" src=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/wp-content\/uploads\/2022\/11\/Vetores-3-19.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-60622\"\/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Figura 6: Representa\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica do produto vetorial e a \u00e1rea do paralelogramo<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Dessa forma, sempre \u00e9 poss\u00edvel associar uma \u00e1rea qualquer a um vetor.<\/p>\n\n\n\n<p>Uma equa\u00e7\u00e3o vetorial sempre nos mostra mais de uma informa\u00e7\u00e3o, pois, a um vetor sempre est\u00e1 associado um m\u00f3dulo, uma dire\u00e7\u00e3o e um sentido.<\/p>\n\n\n\n<p>Gostou desta s\u00e9rie sobre Vetores? Agora que chegamos ao seu fim, aproveite para estudar bastante e praticar o que aprendeu com exerc\u00edcios e quest\u00f5es de provas de concursos anteriores. Conhe\u00e7a o Banco de Quest\u00f5es do Estrat\u00e9gia Militares e pratique ainda mais!<\/p>\n\n\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Veja-tambem\"><\/span>Veja tamb\u00e9m:<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><a href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/operacoes-matematicas-com-algarismos-significativos\/\">Opera\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas com algarismos significativos<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/nocoes-de-algarismos-significativos\/\">No\u00e7\u00f5es de Algarismos Significativos<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/cinematica-escalar-introducao\/\">Cinem\u00e1tica Escalar: introdu\u00e7\u00e3o<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/cinematica-escalar-finalizacao\/\">Cinem\u00e1tica Escalar: velocidade escalar m\u00e9dia, movimento progressivo e mais<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/introducao-a-fisica\/\">F\u00edsica: introdu\u00e7\u00e3o, grandeza, estudo e mais<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/movimento-uniformemente\/\">Movimento uniformemente variado: acelera\u00e7\u00e3o, cinem\u00e1tica com c\u00e1lculo e mais!<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/militares.estrategia.com\/portal\/materias-e-dicas\/fisica\/movimento-uniforme\/\">Movimento uniforme: o que \u00e9 e para que serve?<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p><em>Conte\u00fado did\u00e1tico elaborado pelo professor Toni Burgatto.<\/em> <\/p>\n\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Os conte\u00fados de f\u00edsica s\u00e3o fundamentais para muitos Concursos Militares. 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